Konvergenzradius von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 So 04.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Also ihr Mathegenies ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") ,
ihr könnt mir doch bestimmt auch bei der folgenden Aufgabe helfen?
Also die Aufgabe lautet:
Sei
[mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm]akxk
eine Potenzreihe mit Konvergenzradius[mm] R \in \ (0,\infty)} [/mm]. Bestimmen sie die Konvergenzradien der Potenzreihen
a) [mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm]akxnk für [mm] n \in \mathbb{N}[/mm]
b) [mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm]akxk*k
und
c) [mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm][mm] \bruch{a_{k}}{k!} [/mm]xk
Also jetzt mal meine Überlegungen:
zu c) [mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm][mm] \bruch{a_{k}}{k!} [/mm]xk= [mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm][mm] \bruch{1}{k!} [/mm]akxk
Da [mm] \bruch{a_{k}}{k!} [/mm] wenn k gegen unendlich geht gegen unendlich und für den Rest ist der Kovergenzradius ja R. Da
unendlich * R = unendlich
ist, vermute ich das für die Reihe in c) der Konvergenzradius glei unendlich ist.
Bei a) und b) weiß ich nicht so ganz, wie ich vorgehen soll. Ich vermute, dass bei beiden der Konvergenzradius gleich R ist. Warum kann ich aber nicht wirklich erklären.
Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
Jessica
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 So 04.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jessica!
Erstens: Ich sehe hier weit und breit kein Mathegenie. (Denn die, die im Matheraum welche sind, sind nicht online.)
Zweitens: Ich kenne mich mit Konvergenzradien nicht mehr so gut aus. Meine nun folgenden Anregungen sind also mit äußerster Vorsicht zu genießen! 
> a) [mm]\sum_{k=0}^{\infty}a_k x^{nk}[/mm] für
> [mm] n \in \mathbb{N}[/mm]
Nun ja, das scheint mir klar zu sein. (Oder?) Wegen
[mm]\sum_{k=0}^{\infty} a_k\, x^{nk} = \sum_{k=0}^{\infty}a_k\, (x^n)^k[/mm]
sollte der Konvergenzradius gerade [mm]R^{1/n}[/mm] sein.
> b) [mm]\sum_{k=0}^{\infty} a_k\, x^{k*k}[/mm]
Schreibe das mal so:
[mm]\sum_{k=0}^{\infty} a_k \, (x^k)^k[/mm]
Auf jeden Fall muss der Konvergenzradius kleiner als oder gleich [mm]1[/mm] sein, denn ansonsten wächst [mm]|x|^k[/mm] für genügend großes [mm]k[/mm] über [mm]R[/mm] hinaus. Andererseits wird [mm]|x|^k[/mm] irgendwann auf jeden Fall kleiner als [mm]R[/mm], wenn [mm]|x|<1[/mm] gilt. Daher sollte der Konvergenzradius gleich [mm]1[/mm] sein. (Bitte überprüfen!)
> c) [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{a_{k}}{k!}
x^k[/mm]
Deine Überlegung konnte ich nicht ganz nachvollziehen.
(Meine, die da gerade noch standen, aber auch nicht mehr.)
Ich hoffe das gibt dir wenigstens genug Anregungen. Exakt beweisen musst du es dann immer noch selber.
Vielleicht fällt ja jemand anderem dazu noch was ein.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 So 04.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jessica!
Okay, es war wohl doch richtig, was ich da eben geschrieben hatte.
Also zu c):
Für alle [mm]z \in \IR[/mm] gibt es ein [mm]k_0 \in \IN[/mm] mit :
[mm]|z|^k < k![/mm]
für alle [mm]k \ge k_0[/mm].
Daher gibt es auch für alle [mm]x \in \IR[/mm] und alle [mm]R' \in \IR[/mm] mit [mm]0 < R' < R[/mm] ein [mm]k_1 \in \IN[/mm] mit:
[mm] \left( \frac{|x|}{R'} \right)^k < k![/mm]
für alle [mm] k \ge k_1[/mm], also mit
[mm] \frac{|x|^k}{k!} < R'^k[/mm]
für alle [mm] k \ge k_1[/mm], d.h. die Reihe konvergiert für alle [mm]x \in \IR[/mm].
Der Konvergenzradius ist also gleich [mm]R''=+\infty[/mm].
Alles Gute
Stefan
|
|
|
|
