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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzuntersuchung
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Konvergenzuntersuchung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:16 Mi 28.03.2012
Autor: georg1982

Aufgabe
Untersuchen Sie die für $a=-1$ bzw. $a=2$ sowie $a=5$ entstehenden Zahlenreihen auf Konvergenz bzw. Divergenz

[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n\cdot3^n}$ [/mm]

rechnung für $a=2$
ich benutzt das Quotientenkriterium

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{2^{n+1}\cdot n\cdot3^n}{(n+1)\cdot 3^{n+1}\cdot2^n}$ [/mm]
über die Potenzgesetze komme ich dann auf
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{2}{3}\cdot\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}=\frac{2}{3}$ [/mm]

mit [mm] $\frac{2}{3}<1$ [/mm] folgt Reihe ist konvergent Nach QK

die Umformung für $a=5$ ist äquivalent nur das am ende [mm] $\frac{5}{3}$ [/mm] heraus kommt und die Reihe damit divergiert.

hoffe das ist richtig so.

meine frage ist nun was ich machen muss um das Konvergenzverhalten für $a=-1$ zu zeigen
Ich vemute das ich das Leipnizkriterium brauche nur weiß ich nicht wie ich das anwenden soll.

        
Bezug
Konvergenzuntersuchung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:31 Mi 28.03.2012
Autor: barsch

Hallo,


> Untersuchen Sie die für [mm]a=-1[/mm] bzw. [mm]a=2[/mm] sowie [mm]a=5[/mm]
> entstehenden Zahlenreihen auf Konvergenz bzw. Divergenz
>  
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n\cdot3^n}[/mm]
>  rechnung für [mm]a=2[/mm]
>  ich benutzt das Quotientenkriterium
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{2^{n+1}\cdot n\cdot3^n}{(n+1)\cdot 3^{n+1}\cdot2^n}[/mm]


die Schreibweise ist nicht korrekt. Das Gleichheitszeichen hat dort nichts zu suchen. Es ist

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{n+1}\cdot n\cdot3^n}{(n+1)\cdot 3^{n+1}\cdot2^n}[/mm]



>  
> über die Potenzgesetze komme ich dann auf
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{2}{3}\cdot\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}=\frac{2}{3}[/mm]

Es ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{3}\cdot\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}=\frac{2}{3}[/mm]

Ja. Vielleicht noch einen Zwischenschritt und dann passt das.


>  
> mit [mm]\frac{2}{3}<1[/mm] folgt Reihe ist konvergent Nach QK

Ja.

> die Umformung für [mm]a=5[/mm] ist äquivalent nur das am ende
> [mm]\frac{5}{3}[/mm] heraus kommt und die Reihe damit divergiert.
>  
> hoffe das ist richtig so.

Das passt.

>  
> meine frage ist nun was ich machen muss um das
> Konvergenzverhalten für [mm]a=-1[/mm] zu zeigen
> Ich vemute das ich das Leipnizkriterium brauche nur weiß
> ich nicht wie ich das anwenden soll.

Leibniz-Kriterium ist gut.

Sei also [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n\cdot3^n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n*\frac{1}{n\cdot3^n}[/mm]


Was muss denn für [mm]b_n=\frac{1}{n\cdot3^n}[/mm] gelten, damit die alternierende Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert?

Gilt das für [mm]b_n[/mm]?

Gruß
barsch


Bezug
        
Bezug
Konvergenzuntersuchung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:11 Do 29.03.2012
Autor: fred97


> Untersuchen Sie die für [mm]a=-1[/mm] bzw. [mm]a=2[/mm] sowie [mm]a=5[/mm]
> entstehenden Zahlenreihen auf Konvergenz bzw. Divergenz
>  
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n\cdot3^n}[/mm]
>  rechnung für [mm]a=2[/mm]
>  ich benutzt das Quotientenkriterium
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{2^{n+1}\cdot n\cdot3^n}{(n+1)\cdot 3^{n+1}\cdot2^n}[/mm]
>  
> über die Potenzgesetze komme ich dann auf
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{2}{3}\cdot\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}=\frac{2}{3}[/mm]
>  
> mit [mm]\frac{2}{3}<1[/mm] folgt Reihe ist konvergent Nach QK
>  
> die Umformung für [mm]a=5[/mm] ist äquivalent nur das am ende
> [mm]\frac{5}{3}[/mm] heraus kommt und die Reihe damit divergiert.
>  
> hoffe das ist richtig so.
>  
> meine frage ist nun was ich machen muss um das
> Konvergenzverhalten für [mm]a=-1[/mm] zu zeigen
> Ich vemute das ich das Leipnizkriterium brauche nur weiß
> ich nicht wie ich das anwenden soll.


Warum erschlägst Du nicht alle Fälle mit dem Qutientenkriterium ?

Sei [mm] a_n:= \bruch{a^n}{n*3^n}. [/mm] Dann:

            | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}|= \bruch{|a|}{3}* \bruch{n}{n+1}. [/mm]

Jetzt n [mm] \to \infty. [/mm]

nebenbei:  mit dem Wurzelkriterium gehts einen Kick schneller. Berechne mal [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm]

FRED


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