Konvergierende Zahlefolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:30 Do 24.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo,
ich habe die folgende Aufgabe zu lösen:
Für eine reelle Zahlefolge [mm] (a_{n})_{n \ge 1} [/mm] definiere eine weitere Zahlenfolge [mm] (b_{n})_{n \ge 1} [/mm] durch [mm] b_{n}=\bruch{1}{n}(a_{1}+...+a_{n}).
[/mm]
(a) Konvergiert [mm] (a_{n}) [/mm] gegen a, so konvergiert auch [mm] b_{n} [/mm] gegen a
(b) Folgt aus der Konvergenz von [mm] (b_{n}) [/mm] (stets) die Konvergenz von [mm] (a_{n})?
[/mm]
zu a) [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
[mm] |a_{n}- [/mm] a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
zu zeigen: [mm] |b_{n} [/mm] - [mm] a|=|\bruch{1}{n}(a_{1}+ a_{2}+... [/mm] + [mm] a_{n})-a|
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] beliebig
Wie kann ich das jetzt geschickt umformen und mein N waehlen? Vielen Dank im Voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Do 24.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Niente!
Klammere doch den Ausdruck [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] aus:
[mm]\left|\bruch{1}{n}*\left(a_{1}+ a_{2}+...+a_{n}\right)-a\right| \ = \ \right|\bruch{1}{n}*\left(a_{1}+ a_{2}+...+a_{n}-n*a\right)\right| \ = \ \left|\bruch{1}{n}\right|*\left|a_{1}+ a_{2}+...+a_{n}-n*a\right|[/mm]
Nun im hinteren Term etwas umsortieren.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Do 24.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Loddar,
vielen Dank für deine Antwort. Anscheind habe ich aber ein Brett vorm Kopf, ich weiß einfach nicht, wie ich das ganze so umformen soll, dass ich mein N bestimmen kann....;(. ich kann doch im hinteren Term nichts weiter zusammenfassen....
Ich hoffe, mir kann jemand auf die Sprünge helfen!
Vielen Dank im Voraus!!!!
Niente
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Do 24.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Niente!
Du musst etwas umsortieren und anschließend $n_$-mal die Dreiecksungleichung $|x+y| \ [mm] \le [/mm] \ |x| + |y|$ anwenden.
$... \ = \ [mm] \bruch{\left|\left(a_1-a\right) + \left(a_2-a\right) + ... + \left(a_n-a\right)\right|}{n} [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \bruch{\left|a_1-a\right| + \left|a_2-a\right| + ... + \left|a_n-a\right|}{n}$
[/mm]
Und was wissen wir über [mm] $\left|a_k-a\right|$ [/mm] bzw. [mm] $\bruch{\left|a_k-a\right|}{n}$ [/mm] , wenn wir an die Voraussetzung gemäß Aufgabenstellung denken?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Do 24.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Loddar,
vielen Dank für deine Antwort
Also, wenn meine Überlegungen stimmen, dass müsste doch der Zähler auf jeden Fall gegen a konvergieren. Da nach Voraussetzung [mm] a_{n} [/mm] gegen a konvergiert und es folglich für jedes [mm] a_{k} [/mm] gilt. Dann geht die Summe auch gegen a.
Es bleibt also übrig [mm] \bruch{a}{n}. [/mm] Versucht man sein N zu wählen, so bekommt man [mm] \bruch{a}{ \varepsilon} [/mm] < N. oder nicht?
Liebe Grüße und vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Sa 26.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Niente!
> Also, wenn meine Überlegungen stimmen, dass müsste doch der
> Zähler auf jeden Fall gegen a konvergieren.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt so nicht ganz ... Da wir die ersten $n_$ Glieder nicht kennen, können wir über den Zähler allein keine Aussage treffen.
$... \ = \ [mm] \bruch{\left|a_1-a\right| + \left|a_2-a\right| + ... + \left|a_n-a\right|}{n} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{\left|a_1-a\right|}{n}}_{< \ \varepsilon_1} [/mm] \ + \ [mm] \underbrace{\bruch{\left|a_2-a\right|}{n}}_{< \ \varepsilon_2} [/mm] \ + \ ... \ + [mm] \underbrace{\bruch{\left|a_n-a\right|}{n}}_{< \ \varepsilon_n} [/mm] \ = \ [mm] \varepsilon_1 [/mm] + [mm] \varepsilon_2 [/mm] + ... + [mm] \varepsilon_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=1}^{n}\varepsilon_i [/mm] \ = : \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Sa 26.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Niente!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem vollständig in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
|
|
|
|
