Konvexität und l.s.c. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Fr 04.11.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo Forum!
Ich habe eine Frage zu einem Beweis aus dem Brézis:
Sei $ [mm] \phi: [/mm] E [mm] \to (-\infty,\infty] [/mm] $ konvex und l.s.c ( schwach unterhalbstetig = lower semicontinuous) in der starken Topologie, dann ist $ [mm] \phi [/mm] $ auch l.s.c in der schwachen Topologie.
Der Beweis ist ziemlich kurz, und geht wie folgt:
Sei $ [mm] A:=\{x\in E | \phi(x) \le \lambda\}, \lambda \in \IR [/mm] $
Dann ist $ Aä : konvex ( das ist klar, folgt aus der Konvexität von $ [mm] \phi [/mm] $ ).
Nun sei A aber auch stark abgeschlossen. Da bin ich mir nicht mehr so sicher. Wenn $ [mm] \phi [/mm] $ ein Funktional wäre, so wäre dies mir klar, aber hier ist es ja nur l.s.c. wieso gilt dann diese Abgeschlossenheit?
Dann weiss man, nach Krein-Millman, dass $ A $ auch schwach abgeschlossen ist.
Nun folgert man wieder, dass $ [mm] \phi [/mm] $ daher schwach l.s.c sein muss. Dieser Schritt ist mir wieder nicht ganz klar.
Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Danke
Gruss
physicus
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Hallo,
> Hallo Forum!
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> Ich habe eine Frage zu einem Beweis aus dem Brézis:
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> Sei [mm]\phi: E \to (-\infty,\infty][/mm] konvex und l.s.c ( schwach
> unterhalbstetig = lower semicontinuous) in der starken
> Topologie, dann ist [mm]\phi[/mm] auch l.s.c in der schwachen
> Topologie.
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> Der Beweis ist ziemlich kurz, und geht wie folgt:
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> Sei [mm]A:=\{x\in E | \phi(x) \le \lambda\}, \lambda \in \IR[/mm]
> Dann ist $ Aä : konvex ( das ist klar, folgt aus der
> Konvexität von $ [mm]\phi[/mm] $ ).
> Nun sei A aber auch stark abgeschlossen. Da bin ich mir
> nicht mehr so sicher. Wenn [mm]\phi[/mm] ein Funktional wäre, so
> wäre dies mir klar, aber hier ist es ja nur l.s.c. wieso
> gilt dann diese Abgeschlossenheit?
Stell dir vor, [mm] x_n\in [/mm] A konvergiert gegen ein [mm] x\in [/mm] E. Zu zeigen ist [mm] x\in [/mm] A, also [mm] \phi(x)\le \lambda. [/mm] Aus der unterhalbstetigkeit von [mm] \phi [/mm] folgt aber [mm] \phi(x)\le \liminf_{x_n\to x} \phi(x_n) \le \lambda.
[/mm]
> Dann weiss man, nach Krein-Millman, dass [mm]A[/mm] auch schwach
> abgeschlossen ist.
> Nun folgert man wieder, dass [mm]\phi[/mm] daher schwach l.s.c sein
> muss. Dieser Schritt ist mir wieder nicht ganz klar.
ist mir auch nicht auf anhieb klar. Habe eben beim Surfen im Netz den Satz von Mazur entdeckt, der eventuell hilfreich sein könnte. Mit diesem kann man zu einer schwach konvergenten Folge eine stark konvergente Folge aus Konvexkombinationen der Folgeglieder basteln kann. Hattet ihr den vielleicht? So könnte man die schwache auf die starke UHSK zurückführen.
Was mir allerdings dann nicht richtig einleuchtet, ist, warum man den Beweis über die Konstruktion der Menge A führen muss....
Gruss
Matthias
> Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Danke
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>
> Gruss
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> physicus
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