Koordinaten bestimmen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Di 08.04.2008 | | Autor: | Jule_ |
| Aufgabe | Bei einem geraden dreiseitigen Prisma ABCDEF aind A,B und C die Ecken der Grundfläche. Die Höhe des Prismas beträgt 5 (Längeneinheiten). Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte D,E und F.
a) A(2/0/3); B (1/0/7); C (-7/0/3)
b) A(2/0/3); B (6/2/3); C (3/3/3) |
Das Ergebnis lautet:
a) A (2/5/3); B (1/5/7); C (-7/5/3)
oder A (2/-5/3); B (1/-5/7); C (-7/-5/3)
--> [mm] x_{2} \pm [/mm] 5
b) A (2/0/8); B (6/2/8); C (3/3/8);
oder A (2/0/-2); B (6/2/-2); C (3/3/-2);
--> [mm] x_{3} \pm [/mm] 5
Kann mir jemand erklären warum man einmal die Höhe zur Koardinate [mm] x_{2} [/mm] addiert bzw. subtrahiert und beim anderen Mal zu [mm] x_{3}?
[/mm]
Ist vielleicht ne blöde Frage, aber ich weiß es wirklich nicht. Hängt das vielleicht davon ab wie die Grundfläche liegt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Di 08.04.2008 | | Autor: | Jedec |
Du musst zuerst eine Ebene aufstellen, in der alle drei Punkte liegen
bei a) wäre das die Ebene [mm] E_{a}: x_{2}=0
[/mm]
bei b) ist das dann [mm] E_{b}: x_{3}=3
[/mm]
Dann musst du eine Ebene erstellen, die von [mm] E_{a} [/mm] bzw. [mm] E_{b} [/mm] den Abstand 5, da es sich um ein gerades Prisma handelt.
Man könnte das sicher noch genauer erklären, aber ich denke, das langt dir erstmal...
Falls nicht, frag einfach nochmal nach...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:21 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Jule_ |
Vielen Dank für die Antwort!
Wenn ich das richtig verstehe kann ich die Ebene ermitteln indem ich schaue welcher der 3 Koordinaten bei allen 3 Punkten gleich ist, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jule!
So einfach ist das leider nicht ... was machst Du denn, wenn die 3 Punkte ausschließlich unterschiedliche Koordinatenwerte haben?
Für die Ebenengleichung in Koordinatenform musst Du erst die beiden Richtungsvektoren [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{AC}$ [/mm] aufstellen und daraus den entsprechenden Normalenvektor ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Jule_ |
Hallo Jule!
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> So einfach ist das leider nicht ... was machst Du denn,
> wenn die 3 Punkte ausschließlich unterschiedliche
> Koordinatenwerte haben?
>
> Für die Ebenengleichung in Koordinatenform musst Du erst
> die beiden Richtungsvektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] aufstellen und daraus den
> entsprechenden Normalenvektor ermitteln.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Schade!
Wie komme ich z.B bei a) von [mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 4} [/mm] und [mm] {AC}=\vektor{-9 \\ 0 \\ 0 } [/mm] auf den Normalenvektor und wie komme ich von dem auf die Ebenengleichung in Koordinatenform?
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Hallo Jule_,
> Hallo Jule!
> >
> >
> > So einfach ist das leider nicht ... was machst Du denn,
> > wenn die 3 Punkte ausschließlich unterschiedliche
> > Koordinatenwerte haben?
> >
> > Für die Ebenengleichung in Koordinatenform musst Du erst
> > die beiden Richtungsvektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und
> > [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] aufstellen und daraus den
> > entsprechenden Normalenvektor ermitteln.
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
>
>
> Schade!
>
> Wie komme ich z.B bei a) von [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 4}[/mm]
> und [mm]{AC}=\vektor{-9 \\ 0 \\ 0 }[/mm] auf den Normalenvektor und
> wie komme ich von dem auf die Ebenengleichung in
> Koordinatenform?
Nun, der  Normalenvektor [mm] \vecn [/mm] ist orthogonal zu diesen beiden Vektoren, also sind die Skalarprodukte mit ihm =0.
Schreib's mal auf: dann hast du zwei Gleichungen für die drei Variablen [mm] \vektor{n_1\\n_2\\n_3}, [/mm] von denen du eine frei wählen kannst.
Dieses Verfahren gilt immer, auch wenn die Vektoren nicht in einer Komponente übereinstimmen.
Kommst du jetzt allein weiter?
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Jule_ |
nein, wenn ich ehrlich bin hilft mir das nicht weiter. Ich glaub soweit sind wir noch nicht!
Von Normalenvektor und Skalarprodukt habe ich noch nichts gehört,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Duffel |
Hallo.
Du kannst auch einfach den Normalenvektor mit dem Vektorprodukt bilden.
Wie das geht steht in deinem Tafelwerk oder Mathebuch. Schau einfach
im Register nach. Mit dem Vektorprodukt ist es um einiges eleganter und du kannst mit dem Vektorprodukt auch jede Menge andere Sachen anstellen 
Gruß,
Duffel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jule!
Es muss [mm] $\overrightarrow{AB} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ \red{-}4}$ [/mm] heißen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:36 Do 10.04.2008 | | Autor: | Jule_ |
> Hallo Jule!
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> Es muss [mm]\overrightarrow{AB} \ = \ \vektor{-1 \\ 0 \\ \red{-}4}[/mm]
> heißen.
>
>
> Gruß
> Loddar
Wieso -4?
[mm]\overrightarrow{AB} \ = \ \vektor{1-2 \\ 0-0 \\ \red7-3}[/mm]= [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ \red 4} [/mm]
oder nicht??
Gestern haben wir angefangen uns mit Normalenvektor und Skalarprodukt zu beschäftigen.
Da bei der Aufgabe sowohl bei a) und b) immer eine Koordinate bei allen drei Punkten gleich ist, war das noch recht einfach zu lösen, aber ich wüßte schon gerne wie das über den Normalenvektor funktioniert.
Kann mir bitte jemand zumindest den Ansatz zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:48 Do 10.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jule!
Du hast Recht mit Deiner Rechnung ... da habe ich mich wohl verguckt.
Um nun den Normalenvektor [mm] $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x\\y\\z}$ [/mm] der Ebene zu erhalten, musst Du jeweils das Skalarprodukt mit den beiden Richtungsvektoren bilden. Da dieser Normalenvektor senkrecht auf beide Richtungsvektoren steht, muss das Skalarprodukt den Wert 0 ergeben:
[mm] $$\vektor{x\\y\\z}*\vektor{-1\\0\\4} [/mm] \ = \ ... \ = \ 0$$
[mm] $$\vektor{x\\y\\z}*\vektor{-9\\0\\0} [/mm] \ = \ ... \ = \ 0$$
Nun dieses Gleichungssysetm nach x, y und z auflösen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:02 Do 10.04.2008 | | Autor: | Jule_ |
> Hallo Jule!
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> Du hast Recht mit Deiner Rechnung ... da habe ich mich wohl
> verguckt.
>
> Um nun den Normalenvektor [mm]\vec{n} \ = \ \vektor{x\\y\\z}[/mm]
> der Ebene zu erhalten, musst Du jeweils das
> Skalarprodukt mit den beiden Richtungsvektoren bilden.
> Da dieser Normalenvektor senkrecht auf beide
> Richtungsvektoren steht, muss das Skalarprodukt den Wert 0
> ergeben:
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z}*\vektor{-1\\0\\4} \ = \ ... \ = \ 0[/mm]
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z}*\vektor{-9\\0\\0} \ = \ ... \ = \ 0[/mm]
> Nun
> dieses Gleichungssysetm nach x, y und z auflösen.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Danke Loddar,
werde es nachher gleich mal versuchen. ´
Wie kann ich dann vom Normalenvektor auf die Ebenengleichung schließen bzw. um auf die Aufgabe zurückzukommen, sehen zu welcher Koordinate die Längeneinheiten addiert bzw. subtrahiert werden müssen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Do 10.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jule!
Die Normalenform der Gleichung (mit $A_$ als Stützvektor) lautet dann:
[mm] $$\vec{n}*\left[\vec{x}-\overrightarrow{OA}\right] [/mm] \ = \ [mm] \vec{n}*\vec{x}-\vec{n}*\vec{a} [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Do 10.04.2008 | | Autor: | Jule_ |
Als Lösung des LGS bekomme ich:
x=0
y=0
z=0
ist das richtig??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Do 10.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jule!
Wie kommst Du auf $y \ = \ 0$ ? Hier darfst Du einen beliebigen Wert wählen; am einfachsten halt: $y \ := \ 1$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Do 10.04.2008 | | Autor: | Jule_ |
Habe ich mir schon gedacht, dass das nicht richtig ist :(
Ich habe folgendes gemacht:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}*\vektor{-1 \\ 0 \\ 4}=0
[/mm]
-x+4z=0
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}*\vektor{-9 \\ 0 \\ 0}=0 [/mm]
-9x=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Do 10.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jule!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Daraus erhält man dann: $x \ = \ z \ = \ 0$ .
Und für $y_$ kannst du nun frei wählen (wie eben schon geschrieben).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Do 10.04.2008 | | Autor: | Jule_ |
d.h.
[mm] \vec{n}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
--> [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}*\vec{x}-\vektor{0 \\ 1 \\ 0}*\vektor{2 \\ 0 \\ 3}=0
[/mm]
[mm] \vec{x}=0
[/mm]
Ist das so richtig??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Do 10.04.2008 | | Autor: | Jule_ |
Vielen Dank für deine Hilfe!!
für b) wäre dann [mm] x_3=0
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Do 10.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jule!
> für b) wäre dann [mm]x_3=0[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das muss z.B. [mm] $x_3 [/mm] \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] lauten (als 3. Koordinate für den Normalenvektor).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Jule_ |
> Hallo Jule!
>
>
> > für b) wäre dann [mm]x_3=0[/mm]
>
> Das muss z.B. [mm]x_3 \ = \ \red{1}[/mm] lauten.
>
>
> Gruß
> Loddar
Ist [mm] x_3=3 [/mm] auch richtig?
--> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}-\vektor{0 \\ 0 \\ 1}*\vektor{2 \\ 0 \\ 3}=0[/mm]
[mm] x_3-3=0
[/mm]
[mm] x_3=3
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jule!
Ja, Dein Ergebnis ist richtig! Und zwar nicht "auch", sondern nur Deines.
Ich war gedanklich noch beim Normalenvektor gewesen - während Du ja bereits die fertige Ebenengleichung geliefert hast.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:37 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Jule_ |
Danke!! 
Gruß Jule
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