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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Di 15.04.2008 | | Autor: | Isaak |
| Aufgabe | 4. Geben Sie zuerst eine Parametergleichung der Ebene E an, die die Punkte A,B und C enthält. Bestimmen Sie dann eine Koordinatengleichung dieser Ebene.
a) A (1|2|-1), B(6|-5|11), C(3|2|0) |
hey,
ich wende mich mit einer Hausaufgabe für morgen an euch, das soll heißen ich würde mich freuen eine Lösung wenigstens vorweisen zu können und wenn möglich, diese auch verstanden zu haben! Es geht ja um die Aufgabe von oben a)!
Ich würde wie folgt ansetzen;
Parametergleichung;
x= A [mm] \pmat{ 1 \\2\\-1 } [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{AB} \pmat{ 6 & - 1 \\ -5 & - 2 \\11 & -(-1) } [/mm] + s * [mm] \overrightarrow{AC} \pmat{ 3 & -1 \\2 & -2\\0 & -(-1) } [/mm]
= [mm] \pmat{ 1 \\2\\-1 } [/mm] + r * [mm] \pmat{ 5 \\-7\\10 } [/mm] + s [mm] *\pmat{ 2 \\0\\1 }
[/mm]
Nun würde ich gerne wissen, wie ich weiter arbeiten sollte!
Für jede schnelle Hilfe bin ich dankbar!
mfg isger
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Hallo
Um von einer einer Parameterdarstellung in eine Koordinatengleichung zu kommen benötigst du einen Normalvektor ( weißt du was das ist?)
Jeder Normalvektor einer Ebene ist orthogonal zu alllen Richtungsvektoeren der Ebene. Das Skalaprodukt zwischen [mm] \vec{n} [/mm] ( normalvektor) und den Richtungsvektoren muss daher den Wert Null ergeben. [mm] \vec{n} \* \vektor{5\\ -7\\10} [/mm] = [mm] \vektor{n1\\ n2\\n3} \* \vektor{5\\ -7\\10} [/mm] = 0
und [mm] \vektor{n1\\ n2\\n3} \* \vektor{2 \\0\\1} [/mm] = 0
Aus dem Skalarprodukt erhält man dann folgendes Gleichunssystem
[mm] \vmat{ 5n1 -7n2+10n3 = 0 \\ 2n1+n3 =0 }
[/mm]
Wenn man dies ist die Matrix des taschenrechners eingibt erhält man durch den befehl rref ( ich weiß ja net welchen TR du hast bei den Ti 83 Plus ist dies der Befehl) [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0,5 & 0 \\ 0 & 1 & -15/14 & 0 }
[/mm]
Dies bedeutet n1+ 0,5 n3 =0 und
n2 - 15/14 =0
Das gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen
Mit der Wahl von n3= 14 ergibt sich n1= -7 und n2= 15
Somit lautet der Normalvektor [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-7 \\ 15\\14}
[/mm]
nun haben wir den Normalvektor , den wir später noch brauchen
Zur Bestimmung der Koordinatengleichung benutzen wir irgenein punkt der Ebene in diesem Fall bietet sich A) 1/2/-1) an
Somit ist [mm] \vec{n} \* \vec{OX}=d [/mm] d= [mm] \vec{n} \* \vec{OA} [/mm] eine Gleichung der Ebene.
[mm] \vektor{-7 \\ 15\\14} \* \vektor{x1 \\ x2\\x3} [/mm] = -7x1+ 15 x2 +14 x3 und [mm] \vec{n} \* \vec{OA}=\vektor{-7 \\ 15\\14} \* \vektor{1 \\ 2\\-1}= [/mm] 9
Die Koordinatengleichung ist somit -7x1+15x2+14x3=9
Wenn du noch Fragen hast ich bin dir gerne behilflich
Mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Di 15.04.2008 | | Autor: | Isaak |
| Aufgabe | | Wie bekomme ich ohne einen Taschenrechner die Werte für den Normalvektor heraus? |
Danke,
für deine schnelle Antwort! Ich habe verstanden wie du die Aufgabe gerechnet hast, obwohl ich immer Probleme habe, die Rechnungen auch direkt nachzuvollziehen. Das heißt jetzt z.B. warum muss der Normalvektor orthogonal, also senkrecht, verlaufen und hätte der variable Punkt auf der Ebene auch Punkt B oder C sein können, wenn ich danach die Richtungsvektoren dementsprechend anders berechnet hätte?
mfg Isger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Di 15.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
für senkrecht gibts viele Ausdrücke: Normal, orthogonal senkrecht zu, Lot auf. die bedeuten also alle dasselbe, d,h, Normalenvektor heisst senkrechter Vektor.
Das Gleichungssyst kann man natürlich ohne TR einfach lösen, und welchen punkt der Ebene du nimmst ist egal!
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Di 15.04.2008 | | Autor: | crashby |
Hey wenn du mal das Kreuzprodukt/Vektorprodukt im Untericht hattest dann geht das schneller:
$ [mm] \vec{n}=\vektor{5 \\ -7\\10}\times \vektor{2 \\ 0\\1}=\vektor{-7\\15\\14} [/mm] $
![[]](/images/popup.gif) Kreuzprodukt
Und eine Probe kann man auch immer machen:
Wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren also Normalenvektor * Richtugnsvektor Null ist hast du einerseits richtig gerechnet, anderseits steht eben der Normalenvektor senkrecht/orthogonal.
lg George
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Isaak |
| Aufgabe | | Ist das Ausrechnen der Lösungen per Kreuzproduktrechnung immer anwendbar, was das Berechnen durch den Taschenrechner ja zu Nichte machen würde? Die folgende Rechnung $ [mm] \vec{n}=\vektor{5 \\ -7\\10}\times \vektor{2 \\ 0\\1}=\vektor{-7\\15\\14} [/mm] $ muss man doch nur noch mit folgenden Werten [mm] *\vektor{x1 \\ x2\\x3} [/mm] erweitern um auf die Ebenengleichung zu gelangen und danach nur noch für [mm] \vektor{x1 \\ x2\\x3} [/mm] die entsprechenden Werte des jeweiligen Punktes angeben um auf die selbe Lösung (=9) zu kommen, oder? |
hey,
ich frage deshalb, weil es ja sein könnte, dass durch das Benutzen der Kreuzproduktrechnung andere Arbeitsschritte von Nöten sind (bzw. ich mir einfach zu unsicher bin).
mfg Isger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Der eine Spannvektor sollte [mm] \vektor{5 \\ -7 \\ >>12<<} [/mm] lauten, bevor du mit dem falschen rechnest :)
Und ja, wenn du das Kreuzprodukt hast, hast du einen richtigen Normalenvektor. Und bei der Koordinatengleichung E: ax+by+cz=d geben a, b und c die komponenten des Normalenvektors an.
Diese kannst du dann einfach einsetzen. Mit dem falschen Normalenvektor wär das also E: -7x+15y+14z=d. Dann setzt du den Aufpunkt ein um d zu erhalten
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel.
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