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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Di 25.07.2006 | | Autor: | algebra1 |
| Aufgabe | Betrachte die Funktion [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] definiert durch [mm] f(x,y):=e^{-x^{2}-y^{2}} [/mm] auf den Bereichen
[mm] B_{R}:={(x,y) | x,y>0, x^{2}+y^{2} \le R^{2}} [/mm] , [mm] Q_{R}:=[0,R]\times[0,R] [/mm] , [mm] R\in \IR
[/mm]
Berechne (anhand von Polarkoordinaten)
[mm] \integral_{B_{R}}fd\mu [/mm] := [mm] \integral_{B_{R}}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy [/mm] |
Hallo,
kann mir jemand anhand dieser Aufgabe erklären wie das mit der Polarkoordinatentransformation funktioniert?
Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten: [mm] x=r*cos\varphi [/mm] , [mm] y=r*sin\varphi [/mm] , [mm] r=\wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] => [mm] r^{2}=x^{2}+y^{2}
[/mm]
Desweiteren wissen wir, dass [mm] Q_{R}:=[0,R]\times[0,R] [/mm] im 1. Quadranten liegt, d.h. es handelt sich um einen Viertelkreis (Integration von 0 bis [mm] \bruch{ \pi}{2})
[/mm]
[mm] e^{-x^{2}-y^{2}} [/mm] kann man umschreiben in [mm] e^{-(x^{2}+y^{2})}
[/mm]
Es folgt also: [mm] e^{-r^{2}} [/mm] nach Definition
Alles eingesetzt ergibt:
[mm] \integral_{B_{R}}fd\mu [/mm] = [mm] \integral_{0}^{R}\integral_{0}^{\bruch{ \pi}{2}}e^{-r^{2}}r*d\varphi*dr
[/mm]
Hier kommt meine Frage: Wie komme ich auf die Umformung [mm] dx=r*d\varphi [/mm] bzw. dy=dr und muss ich das Integral jedes mal mit r multiplizieren oder nur einmal für [mm] d\varphi?
[/mm]
Gruß,
algebra1
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Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Di 25.07.2006 | | Autor: | Barncle |
also am besten gehst du das Problem mit der ![[]](/images/popup.gif) Funktionaldeterminant an!
Also wir wissen ja: x = r [mm] \cos\phi
[/mm]
y = r [mm] \sin\phi
[/mm]
um nun von dx und dy auf dr und [mm] d\phi [/mm] zu kommen berechnen wir:
[mm] \begin{pmatrix}
\bruch{ \partial x} { \partial r} & \bruch{ \partial x} { \partial \phi} \\
\bruch{ \partial y} { \partial r} & \bruch{ \partial y} { \partial \phi}
\end{pmatrix} [/mm]
also:
[mm] \begin{pmatrix}
\cos\phi & -r\sin\phi \\
\sin\phi & r\cos\phi
\end{pmatrix} [/mm]
und davon noch die Determinante und... schon hast du das r für deinen Fall... für den allgemeineren Fall schau doch bitte einfach auf den oberen Wikipedia-Link! ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Di 25.07.2006 | | Autor: | algebra1 |
Hallo Barncle,
super, genau das was ich gesucht habe :) Mit dem r ist es mir jetzt soweit klar. Aber wieso wird aus [mm] dx=d\varphi [/mm] und aus dy=dr und nicht umgekehrt?
Gruß,
algebra1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Di 25.07.2006 | | Autor: | Barncle |
hmhm..
Ich denke eigentlich nciht dass genau dx zu [mm] d\phi [/mm] und dy zu dr wird.
eher würd ich sagen, dass das System dxdy zu dr [mm] d\phi [/mm] wird.
Und dass passiert, weil du um eine Fläche über ein Integral auszurechnen nunmal 2 Koordinaten brauchst und aus x und y wird in Polarkoordinaten eben r und [mm] \phi... [/mm] aber eine genaue zuordnung kann man so ncih machen denk cih! :)
P.s.: Kann grad leider nur Mitteilungen und keine Antwort schreiben > Browser spinnt...
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