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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Zur Abwechslung glaube ich mal wieder etwas einfacheres...
Ich soll eine Koordinatentransformation eines Vektors machen, und zwar:
eine Rotation um die x-Achse um +30°, dann um die y-Achse umd +45° und zuletzt noch um die z-Achse um -60°.
Ich habe im Kopf, dass man da für die einzelnen Drehungen einen Vektor oder so aufstellen muss, kam da nicht irgendwo sin oder so vor? Und dann muss man die beiden einfach multiplizieren.
Und noch eine Frage: +soundso viel Grad, in welche Richtung stellt man sich das vor?
Ich glaube, eine recht kurze Antwort reicht mir hier...
Viele Grüße
Batiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 So 14.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Christiane!
> Hallo!
> Zur Abwechslung glaube ich mal wieder etwas
> einfacheres...
>
> Ich soll eine Koordinatentransformation eines Vektors
> machen, und zwar:
> eine Rotation um die x-Achse um +30°, dann um die y-Achse
> umd +45° und zuletzt noch um die z-Achse um -60°.
>
> Ich habe im Kopf, dass man da für die einzelnen Drehungen
> einen Vektor oder so aufstellen muss, kam da nicht irgendwo
> sin oder so vor? Und dann muss man die beiden einfach
> multiplizieren.
> Und noch eine Frage: +soundso viel Grad, in welche
> Richtung stellt man sich das vor?
>
Also die Drehungen im [mm] $\IR^3$ [/mm] macht man wie die Drehungen im [mm] $\IR^2$, [/mm] wobei man für die dritte Komponente, die sich nicht ändert, in der darstellenden Matrix den Wert eins und sonst Null setzt. (Das ist einleuchtend, denn das Bild dieses Basisvektors ist ja wieder der Vektor selbst.)
Bei der Hintereinanderausführung macht man also drei verschiedene darstellende Matrizen und Multipliziert die dann von rechts nach links auf:
1. Operation: Rotation um x-Achse um +30°
[mm]A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & \cos 30° & -\sin 30°\\
0 & \sin 30° & \cos 30° \\
\end{pmatrix}[/mm]
2. Operation: Rotation um y-Achse um +45°
[mm]A_2 = \begin{pmatrix} \cos 45° & 0 & -\sin 45°\\
0& 1 & 0 \\
\sin 45° & 0 & \cos 45° \\
\end{pmatrix}[/mm]
3. Operation: Rotation um z-Achse um -60°
[mm]A_3 = \begin{pmatrix} \cos (-60°) & -\sin (-60°)& 0\\
\sin (-60°) & \cos (-60°) & 0\\
0& 0 & 1\\
\end{pmatrix}[/mm]
Dann noch die Multiplikation von rechts nach links:
$A = [mm] A_3 [/mm] * [mm] A_2 [/mm] * [mm] A_1$
[/mm]
und du hast deine darstellende Matrix, die alle drei Operationen verknüpft.
Zu deiner Nachfrage: Wahrscheinlich ist es so, dass du dir vorstellen musst, dass du im Ursprung stehst und in die Richtung der Achse schaust, um die du drehst. Dann ist die Drehung immer positiv, wenn du entgegen des Uhrzeigersinns drehst und negativ, wenn du im Uhrzeigersinn drehst. Hier bin ich mir aber nur zu 99% sicher.
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 14.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Micha!
Danke schon mal für deine Antwort - damit kann ich die Aufgabe ja schon lösen...
Leider wäre ich da alleine nicht so ganz drauf gekommen, deshalb hier noch ein paar Fragen:
> Also die Drehungen im [mm]\IR^3[/mm] macht man wie die Drehungen im
> [mm]\IR^2[/mm], wobei man für die dritte Komponente, die sich nicht
> ändert, in der darstellenden Matrix den Wert eins und sonst
> Null setzt. (Das ist einleuchtend, denn das Bild dieses
> Basisvektors ist ja wieder der Vektor selbst.)
Irgendwie haben wir nur einmal ganz kurz Drehungen überhaupt gemacht, wie stellt man sich das denn im [mm] \IR^2 [/mm] vor? Also, wie kommt man darauf, dass es gerade in der so und so vielten Komponente cos und in der anderen sin ist? Wäre schön, wenn du mir das kurz erklären könntest.
> Bei der Hintereinanderausführung macht man also drei
> verschiedene darstellende Matrizen und Multipliziert die
> dann von rechts nach links auf:
>
> 1. Operation: Rotation um x-Achse um +30°
>
> [mm]A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & \cos 30° & -\sin 30°\\
0 & \sin 30° & \cos 30° \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> 2. Operation: Rotation um y-Achse um +45°
>
> [mm]A_2 = \begin{pmatrix} \cos 45° & 0 & -\sin 45°\\
0& 1 & 0 \\
\sin 45° & 0 & \cos 45° \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> 3. Operation: Rotation um z-Achse um -60°
>
> [mm]A_3 = \begin{pmatrix} \cos (-60°) & -\sin (-60°)& 0\\
\sin (-60°) & \cos (-60°) & 0\\
0& 0 & 1\\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Dann noch die Multiplikation von rechts nach links:
>
> [mm]A = A_3 * A_2 * A_1[/mm]
>
> und du hast deine darstellende Matrix, die alle drei
> Operationen verknüpft.
Okay, damit kann ich die Aufgabe ja lösen. Allerdings habe ich es anders gerechnet, ich habe die erste Matrix mal den Verktor genommen, dann die zweite mal das Ergebnis usw., das müsste doch das gleiche sein, oder?
Dann wollte ich es noch so machen, wie du gesagt hast, aber wenn ich schon die ersten zwei Matrizen miteinander multipliziere, dann bekomme ich ja schon für den ersten Eintrag cos(-60°)*cos(45°), das jetzt mit nem Additionstheorem oder was auch immer hinzuschreiben ist mir zu länglich (bei den andern wird's wahrscheinlich noch länger), soll ich die Zahlen ungefähr ausrechnen? Hab ich bei der anderen Variante schließlich auch gemacht. Und: rechnet man im Bogenmaß oder ganz normal (sorry, diese Frage ist sicherlich etwas dumm, aber ich hab' das irgendwie nie so richtig gelernt...)?
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 14.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Christiane!
> Hallo Micha!
> Danke schon mal für deine Antwort - damit kann ich die
> Aufgabe ja schon lösen...
> Leider wäre ich da alleine nicht so ganz drauf gekommen,
> deshalb hier noch ein paar Fragen:
>
> > Also die Drehungen im [mm]\IR^3[/mm] macht man wie die Drehungen
> im
> > [mm]\IR^2[/mm], wobei man für die dritte Komponente, die sich
> nicht
> > ändert, in der darstellenden Matrix den Wert eins und
> sonst
> > Null setzt. (Das ist einleuchtend, denn das Bild dieses
>
> > Basisvektors ist ja wieder der Vektor selbst.)
> Irgendwie haben wir nur einmal ganz kurz Drehungen
> überhaupt gemacht, wie stellt man sich das denn im [mm]\IR^2[/mm]
> vor? Also, wie kommt man darauf, dass es gerade in der so
> und so vielten Komponente cos und in der anderen sin ist?
> Wäre schön, wenn du mir das kurz erklären könntest.
>
Zunächst eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie ist die darstellende Matrix der Drehung? Du musst dazu sehen, was mit deinen (standard-)Basisvektoren passert:
Nun [mm] $F(e_1) [/mm] = F(1,0) = [mm] \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha\\ \end{pmatrix}$ [/mm] und
[mm] $F(e_2) [/mm] = F(0,1) = [mm] \begin{pmatrix}- \sin \alpha \\ \cos \alpha \\ \end{pmatrix}$
[/mm]
Also ist die darstellende Matrix: [mm]\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{pmatrix} [/mm].
> Okay, damit kann ich die Aufgabe ja lösen. Allerdings habe
> ich es anders gerechnet, ich habe die erste Matrix mal den
> Verktor genommen, dann die zweite mal das Ergebnis usw.,
> das müsste doch das gleiche sein, oder?
Wenn [mm] $A_1, A_2, A_3$ [/mm] einmal die darstellenden Matrizen zu den Operationen [mm] $F_1, F_2, F_3$ [/mm] sind, dann ist doch [mm]A = A_3 * A_2 * A_1 \gdw F = F_3 \circ F_2 \circ F_1 [/mm].
Du kannst also deine Matrizen auch einzeln auf den armen Vektor loslassen oder erst die Matrizen zu einer zusammenfassen und dann den Vektor bearbeiten. Am Ende müsste das gleiche ergebnis stehen bleiben.
> Dann wollte ich es noch so machen, wie du gesagt hast,
> aber wenn ich schon die ersten zwei Matrizen miteinander
> multipliziere, dann bekomme ich ja schon für den ersten
> Eintrag cos(-60°)*cos(45°), das jetzt mit nem
> Additionstheorem oder was auch immer hinzuschreiben ist mir
> zu länglich (bei den andern wird's wahrscheinlich noch
> länger), soll ich die Zahlen ungefähr ausrechnen?
für die Winkel 60° und 45° kannst du die Werte doch sicher ausrechnen (oder nachschlagen) ^^
> Hab ich
> bei der anderen Variante schließlich auch gemacht. Und:
> rechnet man im Bogenmaß oder ganz normal (sorry, diese
> Frage ist sicherlich etwas dumm, aber ich hab' das
> irgendwie nie so richtig gelernt...)?
>
Es gibt keine dummen Fragen, nur dumme Antworten. Theoretisch ist es dir überlassen, aber wenn du die Drehungen im Winkelmaß gegeben hast, warum solltest du dann auf ein anderes Maß umschwenken?
Gruß Micha
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 So 14.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Micha!
> Zunächst eine Skizze:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank für die Skizze - ich glaube, jetzt verstehe ich das. Ich hoffe, es hat dir nicht zu viel Arbeit gemacht, sie zu zeichnen, wie macht man das hier eigentlich?
> Wie ist die darstellende Matrix der Drehung? Du musst dazu
> sehen, was mit deinen (standard-)Basisvektoren passert:
> Nun [mm]F(e_1) = F(1,0) = \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha\\ \end{pmatrix}[/mm]
> und
> [mm]F(e_2) = F(0,1) = \begin{pmatrix}- \sin \alpha \\ \cos \alpha \\ \end{pmatrix}[/mm]
Ja, das leuchtet mir jetzt ein - danke.
> Also ist die darstellende Matrix: [mm]\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{pmatrix} [/mm].
> Wenn [mm]A_1, A_2, A_3[/mm] einmal die darstellenden Matrizen zu den
> Operationen [mm]F_1, F_2, F_3[/mm] sind, dann ist doch [mm]A = A_3 * A_2 * A_1 \gdw F = F_3 \circ F_2 \circ F_1 [/mm].
> Du kannst also deine Matrizen auch einzeln auf den armen
> Vektor loslassen oder erst die Matrizen zu einer
> zusammenfassen und dann den Vektor bearbeiten. Am Ende
> müsste das gleiche ergebnis stehen bleiben.
Okay, es hatte mich nur etwas verunsichert, weil da so "krumme" Zahlen rauskommen...
> Es gibt keine dummen Fragen, nur dumme Antworten.
> Theoretisch ist es dir überlassen, aber wenn du die
> Drehungen im Winkelmaß gegeben hast, warum solltest du dann
> auf ein anderes Maß umschwenken?
Ja, ich weiß, dass es keine dummen Fragen gibt, aber manches sollte man schon von einem Mathestudenten erwarten, oder? Naja, du hast mir ja geantwortet, dann würde es mir auch nichts ausmachen, wenn ich dumm gewesen wäre, jetzt habe ich es ja verstanden!
Viele Grüße und schönen Rest-Sonntag noch...
Christiane
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