Koordinatentransformation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Mi 09.06.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | (i) Es werden neue Koordinaten u=x-y, v=x+2y eingeführt. Man zeige, dass für die neune partiellen Ableitungen gilt:
[mm] \frac{\partial}{\partial u}&=&\frac{2}{3}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{1}{3}\frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial v}&=&\frac{1}{3}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{3}\frac{\partial}{\partial y}
[/mm]
(ii) Zeige, dass für den 2 dimensionalen Laplace Operator gilt:
[mm] \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}=2\frac{\partial^{2}}{\partial u^{2}}-2\frac{\partial^{2}}{\partial u\partial v}+5\frac{\partial^{2}}{\partial v^{2}}. [/mm] |
Hallo,
alles was ich da bisher probiert habe, war erfolglos.
Bei (i) wollte ich [mm] \nabla [/mm] berechnen: Zunächst kann man die gegebenen Bedingungen umformen zu: [mm] x=(2/3)u+3v\mbox{ und }y=-v-(1/3)u.
[/mm]
Dann [mm] g:=\partial_{u}(x,y)=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})\Rightarrow|g|=\frac{\sqrt{5}}{3} [/mm] und [mm] f:=\partial_{v}(x,y)=(3,-1)\Rightarrow|f|=\sqrt{10}.
[/mm]
Jetzt sollte eigtl gelten: [mm] \nabla=\vec{e}_{u}\frac{3}{\sqrt{5}}\partial_{u}+\vec{e}_{v}\frac{1}{\sqrt{10}}\partial_{v}.
[/mm]
Damit komme ich ja nun nicht wesentlich weiter.
Eine andere Idee habe ich leider nicht.
Wie muss man es machen?
Bei (ii) weiß ich leider auch nicht so recht. Ich wollte erst aus meinem [mm] \nabladann [/mm] mit der entsprechenden Formel für Divergenz bei Transformation [mm] \triangle [/mm] berechnen, hat aber nicht geklappt.
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Hallo Unk,
> (i) Es werden neue Koordinaten u=x-y, v=x+2y eingeführt.
> Man zeige, dass für die neune partiellen Ableitungen
> gilt:
> [mm]\frac{\partial}{\partial u}&=&\frac{2}{3}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{1}{3}\frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial v}&=&\frac{1}{3}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{3}\frac{\partial}{\partial y}[/mm]
>
> (ii) Zeige, dass für den 2 dimensionalen Laplace Operator
> gilt:
> [mm]\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}=2\frac{\partial^{2}}{\partial u^{2}}-2\frac{\partial^{2}}{\partial u\partial v}+5\frac{\partial^{2}}{\partial v^{2}}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> alles was ich da bisher probiert habe, war erfolglos.
>
> Bei (i) wollte ich [mm]\nabla[/mm] berechnen: Zunächst kann man die
> gegebenen Bedingungen umformen zu: [mm]x=(2/3)u+3v\mbox{ und }y=-v-(1/3)u.[/mm]
>
> Dann
> [mm]g:=\partial_{u}(x,y)=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})\Rightarrow|g|=\frac{\sqrt{5}}{3}[/mm]
> und [mm]f:=\partial_{v}(x,y)=(3,-1)\Rightarrow|f|=\sqrt{10}.[/mm]
>
> Jetzt sollte eigtl gelten:
> [mm]\nabla=\vec{e}_{u}\frac{3}{\sqrt{5}}\partial_{u}+\vec{e}_{v}\frac{1}{\sqrt{10}}\partial_{v}.[/mm]
>
> Damit komme ich ja nun nicht wesentlich weiter.
>
> Eine andere Idee habe ich leider nicht.
>
> Wie muss man es machen?
Betrachte die Funktion
[mm]f\left(x,y\right)=f\left(\ u\left(x,y\right), \ v\left(x,y\right) \ \right)[/mm]
und differenziere sie auf beiden Seiten nach x und y.
Für die rechte Seite benötigst Du die verallgemeinerte Kettenregel.
Dann erhältst Du ein Gleichungssystem für [mm]f_{u}, \ f_{v}[/mm]
>
> Bei (ii) weiß ich leider auch nicht so recht. Ich wollte
> erst aus meinem [mm]\nabladann[/mm] mit der entsprechenden Formel
> für Divergenz bei Transformation [mm]\triangle[/mm] berechnen, hat
> aber nicht geklappt.
Wie oben, hier musst Du noch mal nach x bzw y differenzieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:52 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk,
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> > (i) Es werden neue Koordinaten u=x-y, v=x+2y eingeführt.
> > Man zeige, dass für die neune partiellen Ableitungen
> > gilt:
> > [mm]\frac{\partial}{\partial u}&=&\frac{2}{3}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{1}{3}\frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial v}&=&\frac{1}{3}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{3}\frac{\partial}{\partial y}[/mm]
>
> >
> > (ii) Zeige, dass für den 2 dimensionalen Laplace Operator
> > gilt:
> > [mm]\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}=2\frac{\partial^{2}}{\partial u^{2}}-2\frac{\partial^{2}}{\partial u\partial v}+5\frac{\partial^{2}}{\partial v^{2}}.[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > alles was ich da bisher probiert habe, war erfolglos.
> >
> > Bei (i) wollte ich [mm]\nabla[/mm] berechnen: Zunächst kann man die
> > gegebenen Bedingungen umformen zu: [mm]x=(2/3)u+3v\mbox{ und }y=-v-(1/3)u.[/mm]
>
> >
> > Dann
> >
> [mm]g:=\partial_{u}(x,y)=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})\Rightarrow|g|=\frac{\sqrt{5}}{3}[/mm]
> > und [mm]f:=\partial_{v}(x,y)=(3,-1)\Rightarrow|f|=\sqrt{10}.[/mm]
> >
> > Jetzt sollte eigtl gelten:
> >
> [mm]\nabla=\vec{e}_{u}\frac{3}{\sqrt{5}}\partial_{u}+\vec{e}_{v}\frac{1}{\sqrt{10}}\partial_{v}.[/mm]
> >
> > Damit komme ich ja nun nicht wesentlich weiter.
> >
> > Eine andere Idee habe ich leider nicht.
> >
> > Wie muss man es machen?
>
>
> Betrachte die Funktion
>
> [mm]f\left(x,y\right)=f\left(\ u\left(x,y\right), \ v\left(x,y\right) \ \right)[/mm]
>
> und differenziere sie auf beiden Seiten nach x und y.
>
> Für die rechte Seite benötigst Du die verallgemeinerte
> Kettenregel.
>
> Dann erhältst Du ein Gleichungssystem für [mm]f_{u}, \ f_{v}[/mm]
Wie ist denn das konkret gemeint.
Ich habe jetzt folgendes gemacht: [mm] \partial_xf(x,y)=\partial_xf\cdot(\partial_x u\cdot v+\partial_xv \cdot u)=\partial_x f\cdot (x+2y+2yx-2y^2)
[/mm]
Dann bekomme ich doch nirgends ein [mm] \partial_u [/mm] rein???
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> >
> > Bei (ii) weiß ich leider auch nicht so recht. Ich wollte
> > erst aus meinem [mm]\nabladann[/mm] mit der entsprechenden Formel
> > für Divergenz bei Transformation [mm]\triangle[/mm] berechnen, hat
> > aber nicht geklappt.
>
>
> Wie oben, hier musst Du noch mal nach x bzw y
> differenzieren.
>
>
> Gruss
> MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:04 Fr 11.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo,
wie sieht bei dir di Kettenregel aus ?
d/dx(f(u,v)=df/du*du/dx+dv/dv*dv/dx (d statt [mm] \partial)
[/mm]
gruss leduart
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