Kovariante Ableitung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebes Team,
ich habe nächste Woche eine Prüfung in Differentialgeometrie und deshalb bin ich am Lernen.
Bei dem Thema kovariante Ableitung habe ich da so meine Probleme. Ich verstehe die Problematik nicht so richtig.
Um das Verständnis zu steigern, habe ich mir eine Fläche heraus gesucht, wo ich die kovariante Ableitung mal berechnen möchte.
Die Fläche ist der Rotationsparaboloid, welche durch die Parametrisierung
f(u,v)=(ucos(v), usin(v), [mm] u^2)
[/mm]
gegeben ist.
Die Vektorfelder sind
[mm] X=\frac{\partial f}{\partial u}=(cos(v),sin(v),2u) [/mm] und Y= [mm] \frac{\partial f}{\partial v}=(-usin(v),ucos(v),0) [/mm] und die Kurve [mm] c(t)=(t+1,0,(t+1)^2)=f(t+1,0).
[/mm]
Der Punkt an dem die kovariante Ableitung angewendet wird, sei p=c(0)=(1,0,1)=f(1,0). Das heißt u=1 und v=0.
Was kann ich unter den Vektorfeldern verstehen? Ich weiß das [mm] X=\frac{\partial f}{\partial u}=(cos(v),sin(v),2u) [/mm] die Parametrisierung eins Zylinders ist und Y= [mm] \frac{\partial f}{\partial v}=(-usin(v),ucos(v),0) [/mm] eine Kreisscheibe ist.
Hier meine Lösungsversuch:
Ich weiß aus der Vorlesung, das gilt:
[mm] \nabla_X [/mm] Y:= [mm] (D_X Y)^{Tang}=(D_X [/mm] Y)- < [mm] (D_X [/mm] Y), [mm] \nu> \nu
[/mm]
X ist dabei die Richtung, nach der Abgeleitet werden soll. Setze ich u=1 und v=0 ein, bekomme ich als Richtung X=(1,0,2)
Leider weiß ich hier nicht mehr so richtig weiter....
Was muss ich nun weiter machen, damit ich die kovariante Ableitung heraus bekomme?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 So 06.02.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Hallo liebes Team,
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> ich habe nächste Woche eine Prüfung in
> Differentialgeometrie und deshalb bin ich am Lernen.
>
> Bei dem Thema kovariante Ableitung habe ich da so meine
> Probleme. Ich verstehe die Problematik nicht so richtig.
Nun die Problematik ist die, dass man gerne Vektorfelder "innerhalb" des Tangentialbündels ableiten möchte. Die Richtungsableitung eines Vektorfeldes auf einer Fläche ist aber selbst nicht mehr notwendigerweise tangential zur Fläche. Für abstrakte Mannigfaltigkeiten verhält es sich dann sogar so, dass man das Konzept der Richtungsableitung von Vektorfeldern im [mm] \IR^n [/mm] gar nicht mehr zur Verfügung hat; in dem Fall muss die kovariante Ableitung natürlich abstrakt eingeführt werden. Naja, das ist aber ja hier nicht das Thema, in der elementaren Differentialgeometrie kann man einfach die Projektion der gewöhnlichen Richtungsableitung auf den Tangentialraum nehmen, wie das bei euch auch gemacht wird.
>
> Um das Verständnis zu steigern, habe ich mir eine Fläche
> heraus gesucht, wo ich die kovariante Ableitung mal
> berechnen möchte.
>
> Die Fläche ist der Rotationsparaboloid, welche durch die
> Parametrisierung
> f(u,v)=(ucos(v), usin(v), [mm]u^2)[/mm]
> gegeben ist.
>
> Die Vektorfelder sind
> [mm]X=\frac{\partial f}{\partial u}=(cos(v),sin(v),2u)[/mm] und Y=
> [mm]\frac{\partial f}{\partial v}=(-usin(v),ucos(v),0)[/mm] und die
> Kurve [mm]c(t)=(t+1,0,(t+1)^2)=f(t+1,0).[/mm]
Ich verstehe nicht, wozu du hier eine Kurve brauchst.
>
>
> Der Punkt an dem die kovariante Ableitung angewendet wird,
> sei p=c(0)=(1,0,1)=f(1,0). Das heißt u=1 und v=0.
>
> Was kann ich unter den Vektorfeldern verstehen? Ich weiß
> das [mm]X=\frac{\partial f}{\partial u}=(cos(v),sin(v),2u)[/mm] die
> Parametrisierung eins Zylinders ist und Y= [mm]\frac{\partial f}{\partial v}=(-usin(v),ucos(v),0)[/mm]
> eine Kreisscheibe ist.
>
> Hier meine Lösungsversuch:
>
> Ich weiß aus der Vorlesung, das gilt:
> [mm]\nabla_X[/mm] Y:= [mm](D_X Y)^{Tang}=(D_X[/mm] Y)- < [mm](D_X[/mm] Y), [mm]\nu> \nu[/mm]
>
> X ist dabei die Richtung, nach der Abgeleitet werden soll.
> Setze ich u=1 und v=0 ein, bekomme ich als Richtung
> X=(1,0,2)
>
> Leider weiß ich hier nicht mehr so richtig weiter....
>
> Was muss ich nun weiter machen, damit ich die kovariante
> Ableitung heraus bekomme?
Naja, du musst einfach den obigen Ausdruck berechnen. Da steht die gewöhnliche Richtungsableitung des Vektorfeldes Y im Punkt (u,v) in Richtung X(u,v). Was das ist, und wie man sowas berechnet hast du hoffentlich mal in den Grundvorlesungen gelernt.
Die Ableitung wird dann auf den Tangentialraum projeziert. Hierzu musst du noch das Normalenfeld berechnen, ist dir klar wie man das macht?
>
> Liebe Grüße
Grüße,
Berieux
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Danke für deine Antwort.
Ich habe irgendwie den Faden verloren.
Naja ich denke die Richtungsableitung kann man wie folgt ausrechnen:
[mm] D_{X}Y|_{p}=\lim_{n\rightarrow \infty}(Y(c(t))-Y(p)))
[/mm]
Ist das in Ordnung?
Das Normalenfeld kann ich berechnen durch:
[mm] \frac{\frac{\partial f}{\partial u}\times\frac{\partial f}{\partial v}}{||\frac{\partial f}{\partial u}\times\frac{\partial f}{\partial v}||}
[/mm]
Danach die Ergebnisse in die Gleichung einsetzen....
Ich hoffe das es doch nicht so falsch ist.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 So 06.02.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Danke für deine Antwort.
>
> Ich habe irgendwie den Faden verloren.
> Naja ich denke die Richtungsableitung kann man wie folgt
> ausrechnen:
>
> [mm]D_{X}Y|_{p}=\lim_{n\rightarrow \infty}(Y(c(t))-Y(p)))[/mm]
??? und was soll das bedeuten? Was ist c, was ist n?
Nach einer Ableitung sieht mir das jedenfalls eher weniger aus.
Die gewöhnliche Definition einer Richtungsableitung im [mm] \IR^n [/mm] ist [mm]D_vY(p) = \limes_{t\rightarrow0} \bruch{Y(p+tv)-Y(p)}{t} [/mm].
Damit rechnet man aber nicht. Das ist bekanntlich einfach das Differential von Y angewandt auf v.
Und genau so berechnet man die Ableitung hier auch.
> Ist
> das in Ordnung?
>
> Das Normalenfeld kann ich berechnen durch:
> [mm]\frac{\frac{\partial f}{\partial u}\times\frac{\partial f}{\partial v}}{||\frac{\partial f}{\partial u}\times\frac{\partial f}{\partial v}||}[/mm]
Ja, das stimmt.
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>
> Danach die Ergebnisse in die Gleichung einsetzen....
>
> Ich hoffe das es doch nicht so falsch ist.
>
> Liebe Grüße
Beste Grüße,
Berieux
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