Kreis in Kreis abrollen < Känguru < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:28 So 17.05.2020 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Zwei Kreise, deren kleinerer k den größeren K von innen berührt, haben die Radien r bzw. 2r. Der Punkt P auf der Peripherie von k fällt in der Ausgangslage mit dem Mittelpunkt von K zusammen. Nun soll k in K abrollen, das heißt sich drehen und dabei K stets von innen berühren. Von welcher Gestalt ist der Weg, den P dabei zurücklegt? |
Hallo,
es handelt sich hierbei um Aufgabe 20 der Klassenstufen 9/10 aus dem Jahr 2004.
Ich habe hier sehr große Schwierigkeiten mir das Ganze bildlich vorzustellen. Ich kenne das Problem, dass man von 2 Münzen gleicher Größe eine Münze von außen um die andere abrollt und man im ersten Moment wahrscheinlich erstaunt ist, dass die Münze bis sie wieder in der Ausgangslage ist, 2 komplette Umdrehungen um die eigene Achse macht, sind doch die Umfänge beider Münzen die Gleichen. Man lässt im ersten Moment also die Eigenrotation außer Acht. Mathematisch argumentiert man dabei, dass Mittelpunkt der Münze sich im doppelten Radius um die andere Münze bewegt. Bei dem Problem hier rollt offensichtlich der Mittelpunkt des kleinen Kreises im Radius ebendessen um den Mittelpunkt des größeren Kreises. Mit eben jenem Argument, dass man bei dem Münzenproblem angebracht hat, dass der Mittelpunkt dort im doppelten Radius wandert, könnte man hier zum Schluss kommen, da der Mittelpunkt nur im einfachen Radius wandert, dass der kleine Kreis bis zur Ausgangslage nur eine komplette Umdrehung vollführen würde, was aber mMn im Widerspruch dazu steht, dass der Umfang des großen Kreises doppelt so groß ist wie eben jener des kleinen Kreises.
Die Lösung für die Gestalt des Wegs von P soll übrigens eine gerade Strecke sein.
Wäre euch für jeden Denkansatz und Hilfe dankbar.
Grüße ms2008de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 So 17.05.2020 | | Autor: | magics |
Hallo,
zunächst ein paar Klarstellungen aus der Aufgabenstellung
> Zwei Kreise, deren kleinerer k den größeren K von innen
> berührt, haben die Radien r bzw. 2r.
Die Berührung kann nur in einem Punkt sein.
> Der Punkt P auf der
> Peripherie von k fällt in der Ausgangslage mit dem
> Mittelpunkt von K zusammen.
Das geht eigentlich schon aus dem ersten Satz hervor, da $K$ von $k$ von innen berührt wird (in einem einzigen Punkt) und der Radius von $k$ gerade die Hälfte des Radius von $K$ ist, also auf jeden Fall durch den Mittelpunkt gehen muss.
Das kann man sich ja schonmal aufmalen.
> Nun soll k in K abrollen, das
"abrollen" ist hier etwas doppeldeutig. Ich verstehe es so, dass $k$ einmal um $360$ Grad drehen soll und dann stoppt, also wie als wenn man eine Papierrolle abrollt, bis sie sich flach an die Innenseite von $K$ schmiegt.
Du könntest das ganze sogar nach-experimentieren, indem du aus einer Kordel die zwei Kreise auf einem Tisch hinlegt und nun die innere Kordel (also den inneren Kreis $k$) einfach an der Innenseite von $K$ entlang ausfaltest.
> heißt sich drehen und dabei K stets von innen berühren.
> Von welcher Gestalt ist der Weg, den P dabei zurücklegt?
Mit "Gestalt" meint die Aufgabenstellung eine "sinnige Beschreibung" der zurückgelegten Weges in Relation zu den beiden Kreisen. Es ist schließlich egal, ob der Radius $r$ in Zentimetern, Kilometern oder Lichtjahren angegeben wäre, das Verhältnis des zurückgelegten Weges des inneren Kreises ist stets dasselbe.
Die Fragen könnten also auch lauten:
* Wenn du $k$ in $K$ abrollst, welchen Weg, legt $k$ zurück? Offensichtlich genau seinen eigenen Umfang.
* Was ist das Verhältnis des Umfangs von $k$ zum Radius von $K$ oder besser: zum Umfang von $K$, sodass man am Ende eine Antwort geben kann á la "$k$ legt stehts das x-fache des Umfangs von $K$ zurück.
> Hallo,
>
> es handelt sich hierbei um Aufgabe 20 der Klassenstufen
> 9/10 aus dem Jahr 2004.
> Ich habe hier sehr große Schwierigkeiten mir das Ganze
> bildlich vorzustellen. Ich kenne das Problem, dass man von
> 2 Münzen gleicher Größe eine Münze von außen um die
> andere abrollt und man im ersten Moment wahrscheinlich
> erstaunt ist, dass die Münze bis sie wieder in der
> Ausgangslage ist, 2 komplette Umdrehungen um die eigene
> Achse macht, sind doch die Umfänge beider Münzen die
> Gleichen. Man lässt im ersten Moment also die
> Eigenrotation außer Acht. Mathematisch argumentiert man
> dabei, dass Mittelpunkt der Münze sich im doppelten Radius
> um die andere Münze bewegt. Bei dem Problem hier rollt
> offensichtlich der Mittelpunkt des kleinen Kreises im
> Radius ebendessen um den Mittelpunkt des größeren
> Kreises. Mit eben jenem Argument, dass man bei dem
> Münzenproblem angebracht hat, dass der Mittelpunkt dort im
> doppelten Radius wandert, könnte man hier zum Schluss
> kommen, da der Mittelpunkt nur im einfachen Radius wandert,
> dass der kleine Kreis bis zur Ausgangslage nur eine
> komplette Umdrehung vollführen würde, was aber mMn im
> Widerspruch dazu steht, dass der Umfang des großen Kreises
> doppelt so groß ist wie eben jener des kleinen Kreises.
>
> Die Lösung für die Gestalt des Wegs von P soll übrigens
> eine gerade Strecke sein.
> Wäre euch für jeden Denkansatz und Hilfe dankbar.
>
> Grüße ms2008de
Gruß
Thomas
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:10 So 17.05.2020 | | Autor: | ms2008de |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 So 17.05.2020 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
wirklich schlauer als zuvor bin ich leider durch die Antwort von dir nicht geworden. Gesucht ist der Weg, den P vornimmt, wenn man k einmal komplett in K rollt, bis man wieder in der Ausgangsposition ist, sodass k permanent K von innen dabei berührt. Ich verlink hier mal die Originalaufgabe: ![[]](/images/popup.gif) Aufgabe 20
> > Der Punkt P auf der
> > Peripherie von k fällt in der Ausgangslage mit dem
> > Mittelpunkt von K zusammen.
>
> Das geht eigentlich schon aus dem ersten Satz hervor, da [mm]K[/mm]
> von [mm]k[/mm] von innen berührt wird (in einem einzigen Punkt) und
> der Radius von [mm]k[/mm] gerade die Hälfte des Radius von [mm]K[/mm] ist,
> also auf jeden Fall durch den Mittelpunkt gehen muss.
Warum das denn? Es gibt unendlich Punkte auf der Peripherie von k, aber nur einen einzigen, der genau auf dem Mittelpunkt von K liegt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 So 17.05.2020 | | Autor: | magics |
Hallo,
siehe die Animation auf der Wikiseite von fred: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:TusiCouple.gif
Gruß
Nachtrag: Du hast das ist nicht direkt erkenntlich, dass P auf der Mittel liegt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 So 17.05.2020 | | Autor: | fred97 |
> Zwei Kreise, deren kleinerer k den größeren K von innen
> berührt, haben die Radien r bzw. 2r. Der Punkt P auf der
> Peripherie von k fällt in der Ausgangslage mit dem
> Mittelpunkt von K zusammen. Nun soll k in K abrollen, das
> heißt sich drehen und dabei K stets von innen berühren.
> Von welcher Gestalt ist der Weg, den P dabei zurücklegt?
> Hallo,
>
> es handelt sich hierbei um Aufgabe 20 der Klassenstufen
> 9/10 aus dem Jahr 2004.
> Ich habe hier sehr große Schwierigkeiten mir das Ganze
> bildlich vorzustellen. Ich kenne das Problem, dass man von
> 2 Münzen gleicher Größe eine Münze von außen um die
> andere abrollt und man im ersten Moment wahrscheinlich
> erstaunt ist, dass die Münze bis sie wieder in der
> Ausgangslage ist, 2 komplette Umdrehungen um die eigene
> Achse macht, sind doch die Umfänge beider Münzen die
> Gleichen. Man lässt im ersten Moment also die
> Eigenrotation außer Acht. Mathematisch argumentiert man
> dabei, dass Mittelpunkt der Münze sich im doppelten Radius
> um die andere Münze bewegt. Bei dem Problem hier rollt
> offensichtlich der Mittelpunkt des kleinen Kreises im
> Radius ebendessen um den Mittelpunkt des größeren
> Kreises. Mit eben jenem Argument, dass man bei dem
> Münzenproblem angebracht hat, dass der Mittelpunkt dort im
> doppelten Radius wandert, könnte man hier zum Schluss
> kommen, da der Mittelpunkt nur im einfachen Radius wandert,
> dass der kleine Kreis bis zur Ausgangslage nur eine
> komplette Umdrehung vollführen würde, was aber mMn im
> Widerspruch dazu steht, dass der Umfang des großen Kreises
> doppelt so groß ist wie eben jener des kleinen Kreises.
>
> Die Lösung für die Gestalt des Wegs von P soll übrigens
> eine gerade Strecke sein.
Das stimmt nicht.
> Wäre euch für jeden Denkansatz und Hilfe dankbar.
Tipp: Cardanische Kreise.
>
> Grüße ms2008de
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 17.05.2020 | | Autor: | ms2008de |
Danke für den Hinweis fred97
Warum soll dann allerdings die Antwort einer geraden Strecke von P falsch sein? P wandert doch gerade auf dem Durchmesser des Kreises...
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Nach je einer halben Abwicklung des kleinen Kreises befindet sich der Punkt P (rot) abwechselnd am Rand, im Zentrum oder am gegenüberliegenden Randpunkt, also auf einer Linie.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nach einer weiteren viertel-Abwicklung des kleinen Kreises ergibt sich folgendes Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Berührpunkt D ist in meinem Bild 45° nach links oben gewandert. Damit bildet ABCD aus Symmetriegründen ein Quadrat. Deshalb sind auch die Bogenstücke AB, BC, CD und DA aus Symmetriegründen gleich lang, nämlich ein Viertel des Umfangs von k, insbesondere also der Bogen AB. P ist dabei aber gerade 1/4 des Umfangs aus dem Zentrum gerutscht und liegt deshalb auf A, also ebenfalls auf der gemeinsamen Geraden!
Das ist zwar kein allgemeiner Beweis, legt aber den Verdacht nahe, dass P immer auf dieser Geraden liegt, wie du geschrieben hast.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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