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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:39 Fr 03.09.2010 | | Autor: | Ferma |
In einem Kreis mit Radius 10 zeichnet man einen Punkt P. Wie viele GERADZAHLIGE Sehnen gehen durch diesen Punkt? Ich finde nur 16 und 20 (Durchmesser). Anscheinend gibt es noch andere!?
Danke im Voraus,
Ferma
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Hallo,
poste doch mal den vollständigen Aufgabentext,
und teil uns bitte auch die von Dir angestellten Überlegungen (=Lösungsnsätze) mit.
Ein bißchen scheint es mir doch auch darauf anzukommen, wo der Punkt P liegt...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Fr 03.09.2010 | | Autor: | Ferma |
Danke für Deine Antwort,
Der Punkt P hat einen Abstand von 6 zum Mittelpunkt des Kreises R=10. So ergibt sich die Sehne s=2*8=16 (Pythagoras) Es können (wahrscheinlich) noch andere ganzzahlige Sehnen durch P gezogen werden, oder?? Ich finde trotz mühevoller Anstrengung, keine....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Fr 03.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Danke für Deine Antwort,
> Der Punkt P hat einen Abstand von 6 zum Mittelpunkt des
> Kreises R=10. So ergibt sich die Sehne s=2*8=16
> (Pythagoras) Es können (wahrscheinlich) noch andere
> ganzzahlige Sehnen durch P gezogen werden, oder?? Ich finde
> trotz mühevoller Anstrengung, keine....
Hallo,
es gilt der Sehnensatz. Für alle Sehnen, die durch P verlaufen und den Kreis in zwei Punkte A und B schneiden, ist das Produkt der Streckenlängen [mm] \overline{PA}*\overline{PB} [/mm] gleich groß.
Der Durchmesser, der durch P verläuft, ist ja auch eine spezielle Sehne.
Für r=10 gilt d=20. Wenn P den Abstand 6 zum Mittelpunkt hat, hat P den Abstand 4 zum naheliegendsten Kreispunkt und den Abstand 16 zum fernsten Kreispunkt.
Berechne aus diesen Angaben das Produkt der beiden Sehnenabschnitte und schau, welche anderen natürlichen Zahlen das gleiche Produkt ergeben.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Sa 04.09.2010 | | Autor: | Ferma |
Das Produkt ist 64. Nur 8*8 kommt noch in Frage. Sind keine andren Sehnen hier geradzahlig? Ich habe diese Aufgabe im Netz gefunden. Die Lösung mit den 2 Sehnen (20 und 16) ist nicht ausreichend. So weit war ich schon mit dem Sehnensatz und dem Produkt der beiden Segmente, welches ganzzahlig sein muss.
VG, Ferma
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Hallo Ferma,
> Das Produkt ist 64. Nur 8*8 kommt noch in Frage. Sind keine
> andren Sehnen hier geradzahlig?
Du meinst sicher: ganzzahlig (wie unten).
> Ich habe diese Aufgabe im
> Netz gefunden. Die Lösung mit den 2 Sehnen (20 und 16) ist
> nicht ausreichend.
Wieso nicht? Wer behauptet das?
> So weit war ich schon mit dem Sehnensatz
> und dem Produkt der beiden Segmente, welches ganzzahlig
> sein muss.
Es gibt nur folgende Zerlegung von 64 in ganzzahlige Faktoren, was mit dem Fundamentalsatz der Arithmetik leicht zu zeigen ist.
[mm] 64=2^6=2^0*2^6=2^1*2^5=2^2*2^4=2^3*2^3
[/mm]
Da die Sehne aber nicht länger sein kann als der Kreisdurchmesser, kommen nur die letzten beiden Zerlegungen in Frage, also genau die, die Du schon hast. Weitere kann es nicht geben.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:38 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Ferma |
Wie sieht's denn aus mit den Sehnen der Länge 17,18 und 19. Die Sehnenlänge ändert sich doch stets in diesem Bereich zwischen 16 und 20, oder? Die Segmente sind dann keine geraden Zahlen, doch deren Produkt könnte ganzzahlig sein.
Viele Grüße Ferma
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Hallo Ferma,
lies nochmal die paar Antworten in diesem Thread.
Es kann keine weiteren ganzzahligen Sehnen geben.
Das Produkt allerdings ist leicht anders darzustellen, z.B. [mm] 13*\bruch{64}{13} [/mm] etc. Dabei musst Du darauf achten, dass die kürzere der beiden Sehnen mindestens 4 Einheiten lang ist.
Aber ehrlich gesagt ist die Aufgabe dann witzlos.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Ferma |
Guten Morgen reverend,
die Frage aller Fragen: Gibt es die Sehnen der Länge 17,18 und 19??? Diese ganzen Zahlen liegen zwischen der kürzesten(16) und längsten Sehne(20=Durchmesser). Mathematisch kann ich das nicht beweisen, doch müsste es sie geben, weil die Länge der Sehnen, die durch P gehen sich von 16 bis 20 kontinuierlich vergrößert. Warum sollten die ganzzahligen Werte nicht dabei sein?
VG Ferma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Sa 18.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Guten Morgen reverend,
> die Frage aller Fragen: Gibt es die Sehnen der Länge
> 17,18 und 19??? Diese ganzen Zahlen liegen zwischen der
> kürzesten(16) und längsten Sehne(20=Durchmesser).
> Mathematisch kann ich das nicht beweisen, doch müsste es
> sie geben, weil die Länge der Sehnen, die durch P gehen
> sich von 16 bis 20 kontinuierlich vergrößert. Warum
> sollten die ganzzahligen Werte nicht dabei sein?
> VG Ferma
Ich muss dir recht geben. Es war ja nicht verlangt, dass auch die beiden Teilabschnitte der Sehnen ganzzahlig sind (sondern nur die gesamte Sehnenlänge).
Wenn eine solche Sehne z.B. die Länge 19 haben soll, so muss für ihre beiden Abschnitte x und y gelten
x+y=19 und x*y=64.
Die beiden Abschnitte hätten dann die Längen [mm] 9,5\pm\wurzel{26,25}.
[/mm]
Gruß Abakus
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