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Hallo,
habe mir einige Gedanken zu Kreisteilungskörpern gemacht und mir insbesondere den Zerfällungskörper von [mm] x^{6}-1 [/mm] angeschaut. Dieser hat nach der Euler-Funktion den Grad 2 über Q. Das ist mir auch klar, denn wenn ich das Polynom in die Kreisteilungspolynome zerlege, dann ist eine primitive 6te Einheitswurzel Nullstelle von einem Polynom 2ten Grades. Was ist denn aber nun, wenn ich die zweite 6te Einheitswurzel an Q adjungiere, dann dürfte ich ja nicht den ZErfällungskörper erhalten, weil es sich ja nicht um eine primitive Einheitswurzel handelt. Sie müsste in der Zerlegung von [mm] x^{6}-1 = (x^{2}-x+1)*(x^{2}+x+1)*(x+1)*(x-1) [/mm] Nullstelle des zweiten Polynoms sein, da ja die zwei primitiven Einheitswurzeln Nullstellen des ersten Polynoms (entspricht ja dem 6ten Kreisteilungspolynom) in der Zerlegung sind. Demzufolge müsste dann die Körpererweiterung mit der zweiten 6ten Einheitswurzel (ich nenne ihn K)auch den Grad 2 über Q haben. Wenn ich nun an diesen Körper wieder die dritte Einheitswurzel adjungiere müsste ich ja den Zerfällungskörper L erhalten, und diese Erweiterung müsste über K mindestens den Grad 2 haben, da ja die primitive Einheitswurzel nicht in K liegt. Insgesamt ergibt sich dann nach dem Gradsatz ein Grad von 4 für L über Q. So, jetzt habe ich also einmal den Grad 2 heraus, der ja definitv richtig ist, aber ein anderes Mal 4. Wo ist mein Denkfehler?
Würde mich über eine HIlfe freuen,
VG
Nico
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Mo 06.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Nico
> habe mir einige Gedanken zu Kreisteilungskörpern gemacht
> und mir insbesondere den Zerfällungskörper von [mm]x^{6}-1[/mm]
> angeschaut. Dieser hat nach der Euler-Funktion den Grad 2
> über Q. Das ist mir auch klar, denn wenn ich das Polynom in
> die Kreisteilungspolynome zerlege, dann ist eine primitive
> 6te Einheitswurzel Nullstelle von einem Polynom 2ten
> Grades. Was ist denn aber nun, wenn ich die zweite 6te
> Einheitswurzel an Q adjungiere, dann dürfte ich ja nicht
> den ZErfällungskörper erhalten, weil es sich ja nicht um
> eine primitive Einheitswurzel handelt.
Wieso sollte es sich nicht um den Zerfaellungskoerper handeln? Nur weil es das im Allgemeinen nicht ist, muss das nicht gleich in jedem Fall so sein.
> Sie müsste in der
> Zerlegung von [mm]x^{6}-1 = (x^{2}-x+1)*(x^{2}+x+1)*(x+1)*(x-1)[/mm]
> Nullstelle des zweiten Polynoms sein, da ja die zwei
> primitiven Einheitswurzeln Nullstellen des ersten Polynoms
> (entspricht ja dem 6ten Kreisteilungspolynom) in der
> Zerlegung sind. Demzufolge müsste dann die
> Körpererweiterung mit der zweiten 6ten Einheitswurzel (ich
> nenne ihn K)auch den Grad 2 über Q haben.
Genau.
> Wenn ich nun an
> diesen Körper wieder die dritte Einheitswurzel adjungiere
du meinst eine der primitiven sechsten Einheitswurzeln?
> müsste ich ja den Zerfällungskörper L erhalten, und diese
> Erweiterung müsste über K mindestens den Grad 2 haben, da
> ja die primitive Einheitswurzel nicht in K liegt.
Das stimmt nicht: ist naemlich [mm] $\zeta$ [/mm] eine primitive $n$-te Einheitswurzel, $n$ ungerade, so ist [mm] $-\zeta$ [/mm] eine primitive $2n$-te Einheitswurzel. Sobald also ein Koerper eine $n$-te primitive Einheitswurzel enthaelt, $n$ ungerade, so enthaelt er auch eine $2n$-te primitive Einheitswurzel. Was du in diesem Fall sehr gut sehen kannst.
HTH & LG
Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:26 Di 14.08.2007 | | Autor: | artic3000 |
Vielen Dank, für deine Hilfe, war ja garnicht so schwer zu verstehen 
LG
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