Kreisteilungspolynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wie sieht das Kreisteilungspolynom von [mm] x^4-1 [/mm] aus und was wissen wir darüber? Wie sieht das mit [mm] x^4+1 [/mm] aus? |
Hallo!
Der erste Teil war erstmal kein Problem: [mm] x^4-1=\produkt_{d|4}\phi_d(x), [/mm] also habe ich die [mm] \phi_d(x)=\produkt_{ord \alpha =d}(x-\alpha) [/mm] (mit [mm] \alpha [/mm] Einheitswurzel) betrachtet bei denen d|4, also bei 1, 2, 4:
[mm] \phi_1(x)=x-1 [/mm] (NS bei 1 hat Ordnung 1)
[mm] \phi_2(x)=x+1 [/mm] (NS bei -1 hat Ordnung 2)
[mm] \phi_4(x)=(x-i)(x+i)=x^2+1 [/mm] (NS bei i und -i haben Ordnung 4)
Jetzt ist also [mm] x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)
[/mm]
Aber was ist dann "das" Kreisteilungspolynom: [mm] \phi_4(x)? [/mm] also [mm] x^2+1? [/mm]
Darüber wissen wir auf jeden Fall, dass es in [mm] \IQ[X] [/mm] und sogar in [mm] \IR[X] [/mm] irreduzibel ist.
Bei [mm] x^4+1 [/mm] bin ich ins Stocken geraten: Das ist ja das 8. Kreisteilungspolynom. Sucht man dann hier die Zerlegung von [mm] \phi_8?
[/mm]
Das wäre [mm] (x-\sqrt i)(x+\sqrt i)(x-i\sqrt i)(x+i\sqrt [/mm] i)
Oder was könnte gemeint sein?
Ich würde mich über etwas Hilfe freuen! 
Liebe Grüße, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:15 Di 06.09.2016 | | Autor: | hippias |
Ich habe auch Schwierigkeiten die Aufgabenstellung zu verstehen, aber ich habe die Vermutung, dass man sich auf die Teiler der gegebenen Polynome beschränken soll. Wie habt ihr Kreisteilungspolynome definiert?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 11.09.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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