Kreuzprodukt < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Delia00 |
| Aufgabe | [mm] (a_{2} b_{3})^2 [/mm] + [mm] (a_{3} b_{2})^2 [/mm] + [mm] (a_{1}b_{3})^2 [/mm] + [mm] (a_{3}b_{1})^2 [/mm] + [mm] (a_{1} b_{2})^2 [/mm] + [mm] (a_{2} b_{1})^2 [/mm] - 2 [mm] (a_{2} a_{3} b_{2} b_{3} [/mm] + [mm] a_{1} a_{3} b_{1} b_{3} [/mm] + [mm] a_{1} a_{2} b_{1} b_{2})
[/mm]
[mm] =(a_{1}^2 +a_{2}^2+a_{3}^2) ⋅(b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2)-(a_{1} b_{1} +a_{2} b_{2}+ a_{3} b_{3})^2
[/mm]
= [mm] |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 [/mm] - [mm] (\vec{a} \vec{b})^2
[/mm]
[mm] =|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 [/mm] - [mm] |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 ⋅cos^2 [/mm] α
[mm] =|\vec a|^2 |\vec b|^2 (1-cos^2 [/mm] α)
= [mm] |\vec a|^2 |\vec b|^2 [/mm] ⋅ [mm] sin^2 [/mm] α
= [mm] (|\vec a|^2⋅ |\vec b|^2 [/mm] ⋅ [mm] sin^2 [/mm] α [mm] )^2 [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich versuche die Termzusammenfassungen zu verstehen.
Leider verstehe ich nicht, wie man von den einzelnen Zeilen zu der nächsten Zeile kommt.
Kann mir da bitte jemand weiterhelfen.
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Fr 10.05.2013 | | Autor: | ullim |
> [mm] (a_{2} b_{3})^2 [/mm] + [mm] (a_{3} b_{2})^2 [/mm] + [mm] (a_{1}b_{3})^2 [/mm] + [mm] (a_{3}b_{1})^2 [/mm] + [mm] (a_{1} b_{2})^2 [/mm] + [mm] (a_{2} b_{1})^2 [/mm] - [mm] 2(a_{2} a_{3} b_{2} b_{3} [/mm] + [mm] a_{1} a_{3} b_{1} b_{3} [/mm] + [mm] a_{1} a_{2} b_{1} b_{2})
[/mm]
> [mm]=(a_{1}^2 +a_{2}^2+a_{3}^2) ⋅(b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2)-(a_{1} b_{1} +a_{2} b_{2}+ a_{3} b_{3})^2[/mm]
Also ich hab das nicht nachgerechnet, aber das sollte Fleißarbeit sein. Erste Zeile ausrechnen und dann zweite Zeile ausrechnen und schauen ob Gleichheit besteht.
> = [mm]|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2[/mm] - [mm](\vec{a} \vec{b})^2[/mm]
Die Betragsquadrate der Vektoren a und b sind so definiert und das Skalarprodukt zweier Verktoren a und b ist auch so definiert.
> [mm]=|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2[/mm] - [mm]|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 ⋅cos^2[/mm]
Bei der Projektion eines Vektors a auf den Vektor b kommt der cos zwischen diesen beiden Vektoren ins Spiel.
> [mm]=|\vec a|^2 |\vec b|^2 (1-cos^2[/mm] α)
Ausklammern von [mm] |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 [/mm] führt zum Ergebnis.
> = [mm]|\vec a|^2 |\vec b|^2[/mm] ⋅ [mm]sin^2[/mm] α
[mm] sin(\alpha)^2+cos(\alpha)^2=1 [/mm] gilt immer.
> = [mm](|\vec a|^2⋅ |\vec b|^2[/mm] ⋅ [mm]sin^2[/mm] α [mm])^2[/mm]
Da steht ja wahrscheinlich [mm] \left(|\vec{a}|*|\vec{b}|*sin(\alpha)\right)^2
[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> ich versuche die Termzusammenfassungen zu verstehen.
>
> Leider verstehe ich nicht, wie man von den einzelnen Zeilen
> zu der nächsten Zeile kommt.
>
> Kann mir da bitte jemand weiterhelfen.
>
> Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Delia00 |
Ich verstehe von der ersten zur zweiten Zeile nicht, wo plötzlich die 2 hin ist.
???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Fr 10.05.2013 | | Autor: | chrisno |
[mm] $(a_{1} b_{1} +a_{2} b_{2}+ a_{3} b_{3})^2 [/mm] $
multiplizier das mal aus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Delia00 |
Ich hab die 2.Zeile komplett ausmultipliziert und diese dann mit der ersten Zeile verglichen. Die 2.Zeile ist mit der 1.Zeile identisch.
Wie kommt man denn darauf, dass man die 1.Zeile so wie in der 2.Zeile zusammenfassen kann??
Nach dem Ausrechnen sehe ich schon, dass die Zeilen gleich sind, aber von selber wäre ich nicht darauf gekommen, dass man die erste Zeile so zusammenfassen kann wie in der 2.Zeile.
|
|
|
| |
|
Hallo Delia,
gehst Du noch zur Schule? Von der Aufgabe her könnte es sein, aber Du machst leider in Deinem Profil keine Angabe.
> Ich hab die 2.Zeile komplett ausmultipliziert und diese
> dann mit der ersten Zeile verglichen. Die 2.Zeile ist mit
> der 1.Zeile identisch.
Stimmt.
> Wie kommt man denn darauf, dass man die 1.Zeile so wie in
> der 2.Zeile zusammenfassen kann??
>
> Nach dem Ausrechnen sehe ich schon, dass die Zeilen gleich
> sind, aber von selber wäre ich nicht darauf gekommen, dass
> man die erste Zeile so zusammenfassen kann wie in der
> 2.Zeile.
Ich denke, an der Schule kann niemand von Dir verlangen, dass Du eine solche Zusammenfassung "siehst".
Allerdings legt es sich schon nahe, so etwas zu versuchen. Es gibt da ein paar Quadrate aus je zwei Variablen, und es gibt doppelte gemischte Terme mit je vier Variablen. Genau so etwas entsteht eben bei bestimmten Multiplikationen und Quadrierungen.
Dann versucht man halt mal ein paar Dinge. Mit etwas Überlegung sind es auch gar nicht so viele, die man da versuchen müsste. Und mit viel Rechenerfahrung klappt so etwas dann doch schnell.
Aber um ehrlich zu sein: ich würde das auch nicht auf Anhieb "sehen", sondern eben ein paar Rechenversuche unternehmen.
Grüße
reverend
|
|
|
|
