Kritischer Punkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Mo 15.11.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für $f(x,y,z)=xy+yz+xz$ der Punkt $O =(0,0,0)$ der einzige kritische Punkt ist. Bestimmen Sie eine Gerade durch $O$ , auf welcher $f$ im Punkt $O$ ein Minimum hat und eine andere Gerade, auf welcher $f$ in $O$ ein Maximum hat. |
$ [mm] \frac{\delta f}{\delta x}=y+z, \frac{\delta f}{\delta y}=x+z, \frac{\delta f}{\delta z}=y+x$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] $ im Punkt $(-y,-z,-x)$ hat $f$ eine waagrechte Tangentialebene. Es ergeben jedoch alle zweiten partiellen Ableitungen Null.
Naiverweise muss ich nun annehmen, dass dies bedeutet, dass "überall" kritische Punkte vorliegen, fühle aber intuitiv, dass dies nicht stimmen kann.
Wie ich nun beweisen kann, dass der Ursprung der einzig kritische Punkt ist, scheint mir nicht möglich zu sein. Oder ist dies etwas doch, wenn ja, kann mir jemand sagen wie?
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Hallo,
du kannst die 1. partiellen Ableitungen doch auch wieder in alle Richtungen ableiten, da kommt sicher nicht überall Null raus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Mo 15.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Ja, dies stimmt bei mir. Die gemischten Ableitungen ergeben jeweil 1. Ich habe jedoch gelernt, dass diese 0 sein müssen, wenn nicht, dann muss eine kompliziertere Methode her. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich trotzdem auf die Eindeutigkeit des kritischen Punktes schließen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Di 16.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Du mußt doch nur das simple LGS
y+z=0
x+z=0
y+x=0
lösen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Di 16.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Ok, danke, daraus resultiert $x=y=z=0$ und somit ist dies der einzige kritische Punkt.
Jedoch verstehe ich die zweite Aufgabenstellung nicht; wie soll man denn bitte es zusammenbringen, durch das Aufstellen einer Geradengleichung die Art des Extremum auf einer Funktion zu verändern??? Das hängt doch nur von $f$ ab. Kann mir das jemand erklären, wie dies gemeint ist?
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Hallo clemenum,
> Ok, danke, daraus resultiert [mm]x=y=z=0[/mm] und somit ist dies der
> einzige kritische Punkt.
> Jedoch verstehe ich die zweite Aufgabenstellung nicht; wie
> soll man denn bitte es zusammenbringen, durch das
> Aufstellen einer Geradengleichung die Art des Extremum auf
> einer Funktion zu verändern??? Das hängt doch nur von [mm]f[/mm]
> ab. Kann mir das jemand erklären, wie dies gemeint ist?
Es soll hier mit Hilfe von Geradengleichungen gezeigt werden, daß
nicht entschieden werden kann, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 16.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Ich danke dir, Mathepower!
Aber, kann ich für das Aufstellen der Geradengleichung die normale (dreidimensionale) Parameterdarstellung verwenden oder müsste ich mir zuerst eine Spezialgleichung herleiten?
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Hallo clememum,
> Ich danke dir, Mathepower!
> Aber, kann ich für das Aufstellen der Geradengleichung die
> normale (dreidimensionale) Parameterdarstellung verwenden
> oder müsste ich mir zuerst eine Spezialgleichung
> herleiten?
Du kannst für die Geradengleichung die
normale Parameterdarstellung verwenden.
Gruss
MathePower
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