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| Aufgabe | 1) Begründen Sie, dass die Punktmenge, die durch die Gleichung
a) [mm] x1^2+x2^2-16*x1+8*x2-1=0,
[/mm]
b) [mm] 2*x1^2+2*x2^2+2*x3^2-12*x1+10*x2-20*x3-4=0
[/mm]
beschrieben wird, ein Kreis im [mm] R^2 [/mm] bzw. eine Kugel im [mm] R^3 [/mm] ist. Bestimmen Sie jeweils den Mittelpunkt und den Radius. |
Hallo,
wie kann ich das denn zeigen?
Bei uns ist die Formel für den Kreis/ Kugel:
Kr(M) : [mm] (\vec{x}-\vec{m})*(\vec{x}-\vec{m})=r^2
[/mm]
Also müsste ich das ja irgendwie so umformen, dass ich darauf komme... aber wie kann ich das denn machen? Habe doch überall diesen Index 1,2 usw. und auch noch mit verschiedenen Exponenten. Wenn ich das in dieser Formel hätte, dann hätte ich ja auch schon r; aber wie kann ich das hinbekommen? Wäre toll wenn mir jemand einen Tipp geben könnte..
Viele Grüße,
Anna
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> 1) Begründen Sie, dass die Punktmenge, die durch die
> Gleichung
> a) [mm]x1^2+x2^2-16*x1+8*x2-1=0,[/mm]
>
> b) [mm]2*x1^2+2*x2^2+2*x3^2-12*x1+10*x2-20*x3-4=0[/mm]
>
> beschrieben wird, ein Kreis im [mm]R^2[/mm] bzw. eine Kugel im [mm]R^3[/mm]
> ist. Bestimmen Sie jeweils den Mittelpunkt und den Radius.
> Hallo,
> wie kann ich das denn zeigen?
> Bei uns ist die Formel für den Kreis/ Kugel:
>
> Kr(M) : [mm](\vec{x}-\vec{m})*(\vec{x}-\vec{m})=r^2[/mm]
>
> Also müsste ich das ja irgendwie so umformen, dass ich
> darauf komme... aber wie kann ich das denn machen? Habe
> doch überall diesen Index 1,2 usw. und auch noch mit
> verschiedenen Exponenten. Wenn ich das in dieser Formel
> hätte, dann hätte ich ja auch schon r; aber wie kann ich
> das hinbekommen? Wäre toll wenn mir jemand einen Tipp geben
> könnte..
> Viele Grüße,
> Anna
hallo Anna,
1.) erlaube mir, statt [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] lieber x, y, z zu schreiben.
2.) der Trick ist das quadratische Ergänzen zu binomischen Termen
ich nehme ein anderes Beispiel:
[mm]\ x^2+y^2+2*x-10*y-63=0[/mm]
Terme nach x und y sortieren und etwas Platz schaffen:
[mm]\ x^2+2*x+..........+y^2-10*y+.........-63=0+..........[/mm]
quadratisch ergänzen:
[mm]\ x^2+2*x+.........4.....+y^2-10*y+....25.....-63=0+....29......[/mm]
als vollständige Quadrate schreiben:
[mm]\ (x+2)^2+.....+(y-5)^2....-63=0+....29......[/mm]
[mm]\ (x+2)^2+(y-5)^2=92[/mm]
dies ist eine Kreisgleichung: M(-2/5), Radius [mm] r=\wurzel{92}
[/mm]
(die Gleichung b solltest du zuerst kürzen !)
LG
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Hallo,
danke. Bei a) hats auch geklappt, denke ich mal. Da habe ich dann r=9 raus und M(8/-4).
Aber bei b) weiß ich nicht weiter. Da habe ich erst durch 2 geteilt und jetzt auch quadratisch ergänzt und habe jetzt:
[mm] (x-3)^2+(y+(5/2))^2+(z-5)^2=(169/4)
[/mm]
So, und was mache ich jetzt? Wie kann ich denn jetzt auf die Kreisgleichung kommen? Oder ist das jetzt eine Kugelgleichung für den [mm] R^3? [/mm] Aber ich dachte, die muss eigentlich auch so aussehen wie bei a)?
Viele Grüße,
Anna
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> Hallo,
> danke. Bei a) hats auch geklappt, denke ich mal. Da habe
> ich dann r=9 raus und M(8/-4).
> Aber bei b) weiß ich nicht weiter. Da habe ich erst durch
> 2 geteilt und jetzt auch quadratisch ergänzt und habe
> jetzt:
>
> [mm](x-3)^2+(y+(5/2))^2+(z-5)^2=(169/4)[/mm]
>
> So, und was mache ich jetzt? Wie kann ich denn jetzt auf
> die Kreisgleichung kommen? Oder ist das jetzt eine
> Kugelgleichung für den [mm]R^3?[/mm] Aber ich dachte, die muss
> eigentlich auch so aussehen wie bei a)?
> Viele Grüße,
> Anna
Es ist ja ganz analog zum 2-dimensionalen Fall ! Du kannst die
Gleichung
[mm](x-3)^2+(y+(5/2))^2+(z-5)^2=(169/4)[/mm]
auch so darstellen:
[mm] \left|\vektor{x-3\\y+2.5\\z-5}\right| [/mm] = [mm] \bruch{13}{2}=6.5 [/mm] oder [mm] \left|\vektor{x\\y\\z}-\vektor{3\\-2.5\\5}\right| [/mm] =6.5
Das heisst, dass der Punkt P(x/y/z) vom Punkt M(3,-2.5,5) den Abstand 6.5 haben muss.
Gruß al-Chw.
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Sorry, dass ich mich so blöd anstelle, aber das verstehe ich nicht. Der Punkt muss von dem anderen den Abstand 6,5 haben; ok, das sehe ich ein. Aber wozu will ich das denn wissen? Ist das jetzt mein Radius und mein Mittelpunkt oder wie? Verstehe ich aber nicht, warum, denn diese Gleichung sieht doch immernoch anders aus als die Kreisgleichung die ich eigentlich kenne. Ich soll doch zeigen, dass es einen Kreis oder eine Kugel darstellt. Also wie berechne ich den Mittelpunkt und den Radius dafür? Der Abstand???
Viele Grüße,
Anna
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hallo Anna
Alle Punkte P(x/y/z) des Raumes [mm] \IR^3, [/mm] welche von einem
festen Punkt M, z.B. M(3/-2.5/5) den gleichen festen Abstand r,
z.B. r=6.5 haben, bilden zusammen die Kugel(-fläche) mit
Mittelpunkt M und Radius r.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 Di 24.06.2008 | | Autor: | crazyhuts1 |
Ach ja, klar, ich versteh`s schon.
Danke!
Gruß,
Anna
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