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| Aufgabe | Sei A={(x,y); [mm] \bruch{1}{xy} \in \IZ [/mm] und [mm] max{|x|,|y|}\le1 [/mm] }.
Geben Sie A°, [mm] \partial [/mm] A, [mm] \overline{A}, A^{HP}, A^{IP} [/mm] an. |
Hallo zusammen,
wollte diese Aufgabe bearbeiten aber ich komme damit nicht so ganz klar weil wir das bis jetzt noch nicht hatten.
Vllt kann mir ja jemand am Beispiel von A° erklären wie ich das bestimme:
Also A° ist die Menge der innteren Punkte. Und es gib einen inneren Punkt wenns mind. eine Umgebung U gibt mit U [mm] \subset [/mm] A
nur ist mir jetzt halt nich so klar woher ich weiß was in der Menge enthalten ist...
Würde mich über jede Hilfe freuen.
Gruß,
Kampfkekschen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Di 25.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]A=\{(x,y); \bruch{1}{xy} \in \IZ \text{ und }\max\{|x|,|y|\}\le1\}[/mm] .
>
> Geben Sie A°, [mm]\partial A[/mm], [mm]\overline{A}[/mm], [mm]A^{HP}[/mm], [mm]A^{IP}[/mm]
> an.
> Hallo zusammen,
>
> wollte diese Aufgabe bearbeiten aber ich komme damit nicht
> so ganz klar weil wir das bis jetzt noch nicht hatten.
> Vllt kann mir ja jemand am Beispiel von A° erklären wie
> ich das bestimme:
> Also A° ist die Menge der innteren Punkte. Und es gib
> einen inneren Punkt wenns mind. eine Umgebung U gibt mit U
> [mm]\subset[/mm] A
> nur ist mir jetzt halt nich so klar woher ich weiß was in
> der Menge enthalten ist...
Die Menge A ist doch eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Sieh dir zuerst die beiden Bedingungen an die Zahlen x und y an:
1. [mm] $\bruch{1}{xy} \in \IZ [/mm] $: Der Kehrwert von $xy$ ist eine ganze Zahl, oder anders gesagt, $xy$ ist der Kehrwert einer ganzen Zahl (außer 0), also $1, [mm] \pm1/2, \pm [/mm] 1/3, [mm] \dots$.
[/mm]
2. [mm] $\max\{|x|,|y|\}\le1$, [/mm] also weder $|x|$ noch $|y|$ dürfen größer als 1 sein.
Aus welchen Punkten des [mm] $\IR^2$ [/mm] besteht diese Menge A?. Halte dazu zunächst $xy$ fest und überlege dir, welche Punkte das sind.
Viele Grüße
Rainer
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ah danke schonmal für die antwort werde mir dazu jetzt erstmal meine gedanken machen!! ;)
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Hallo!
Hab mich mit dieser Aufgabe jetzt auch mal was beschäftigt und mir sind einige Fragen aufgekommen. Wenn ich mir anschaue, welche Werte xy annehmen darf komm ich ja letztlich auf eine Beschreibung:
[mm] xy=\bruch{1}{n+1} [/mm] für n [mm] \in \IZ [/mm]
aber auch das bringt mich ja nun nicht wirklich weiter...
Wenn ich mir die Menge der inneren Punkte anschaue, komme ich also auf
$ [mm] A^0=\{(x,y); \bruch{1}{xy} \in \IZ \text{ und }\max\{|x|,|y|\}<1\} [/mm] $
weil ich ja so alle inneren Punkte erfasst habe. Muss ich dann noch die Bedingung von oben dazu schreiben?
Für [mm] \delta [/mm] A komme ich dann eben auf
$ [mm] \delta A=\{(x,y); \bruch{1}{xy} \in \IZ \text{ und }\max\{|x|,|y|\}=1\} [/mm] $
So.. nach Vorlesung ist jetzt [mm] \overline{A}=A^0 \cup \delta [/mm] A
Heißt das jetzt in meinem Fall das [mm] \overline{A}=A [/mm] ist?
Was ich jetzt allerdings über die Häufungspunkte und die isolierten Punkte sagen kann weiß ich nicht genau..
Zu den isolierten Punkten würde ich eigentlich alles Zählen die nicht zu der Zuordnung von oben zählen also [mm] \bruch{1}{n+1}\not=x*y
[/mm]
Wäre lieb, wenn mir einer ne Antwort schreiben könnte, ob ich da schonmal auf dem richtigen Weg bin...
Liebe Grüße,
die Chrischina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Di 01.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Crischina!
> Hab mich mit dieser Aufgabe jetzt auch mal was
> beschäftigt und mir sind einige Fragen aufgekommen. Wenn
> ich mir anschaue, welche Werte xy annehmen darf komm ich ja
> letztlich auf eine Beschreibung:
> [mm]xy=\bruch{1}{n+1}[/mm] für [mm]n \in \IZ[/mm]
Nein, nicht ganz: für n=-1 wäre der Nenner 0.
Du meinst wahrscheinlich
[mm]xy=\pm\bruch{1}{n+1}[/mm] für [mm]n \in \IN_0[/mm]
> aber auch das bringt mich ja nun nicht wirklich weiter...
> Wenn ich mir die Menge der inneren Punkte anschaue, komme
> ich also auf
> [mm]A^0=\{(x,y); \bruch{1}{xy} \in \IZ \text{ und }\max\{|x|,|y|\}<1\}[/mm]
>
> weil ich ja so alle inneren Punkte erfasst habe.
Wieso sind das alle inneren Punkte? Dann müsste es um jeden dieser Punkte eine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] geben, die ganz in A liegt, und das ist nicht der Fall:
Für eine festes n liegen die Punkte [mm] $xy=+\bruch{1}{n+1}$ [/mm] bzw. [mm] $xy=-\bruch{1}{n+1}$ [/mm] auf einer Kurve (einer Hyperbel). Jede [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] eines Punktes enthält Punkte, die nicht auf dieser Kurve liegen. Sie liegen aber auch nicht alle auf einer der anderen Kurven (für andere Werte von n).
Viele Grüße
Rainer
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