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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Eine Urne enthält 5 rote, drei weiße und zwei schwarze Kugeln.
Der Urne werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel nicht rot ist, wenn die erste Kugel nicht schwarz war? |
Hallo.
Also mein Ansatz ist hier:
Die erste Kugel darf nicht schwarz sein, d.h. als erstes darf rot oder weiß gezogen werden.
Die zweite Kugel darf nicht rot sein, es wird schwarz oder weiß gezogen.
Das ergibt die Fälle: (rot, schwarz), (rot, weiß), (weiß, schwarz), (weiß, weiß)
rechnerisch heißt das:
p("...")= [mm] \bruch{5}{10}* \bruch{2}{9}+ \bruch{5}{10}* \bruch{3}{9}+ \bruch{3}{10}* \bruch{2}{9}+ \bruch{3}{10}* \bruch{2}{9} [/mm] = 0,41111
Das ERgebnis lautet 41,1%?
Dankeschööön,
Grüße,
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
Hi du,
also ich hab da [mm] \bruch{7}{18} [/mm] raus. (Tip: Mach dir da mal nen Baum zu)
Die Möglichkeiten sind doch (weiß,rot) (rot,rot)
P(rot,rot)= [mm] \bruch{5}{10} [/mm] * [mm] \bruch{4}{9} [/mm] = [mm] \bruch{2}{9}
[/mm]
P(weiß,rot)= [mm] \bruch{3}{10}* \bruch{5}{9} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
dann ist P(zweiter Zug rot, wenn erster nicht schwarz)= [mm] \bruch{2}{9}+ \bruch{1}{6}= \bruch{7}{9}
[/mm]
Verstehste das so?
Gruß Michi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Moin.
> also ich hab da [mm]\bruch{7}{18}[/mm] raus. (Tip: Mach dir da mal
> nen Baum zu)
> Die Möglichkeiten sind doch (weiß,rot) (rot,rot)
> P(rot,rot)= [mm]\bruch{5}{10}[/mm] * [mm]\bruch{4}{9}[/mm] = [mm]\bruch{2}{9}[/mm]
> P(weiß,rot)= [mm]\bruch{3}{10}* \bruch{5}{9}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
> dann ist P(zweiter Zug rot, wenn erster nicht schwarz)=
> [mm]\bruch{2}{9}+ \bruch{1}{6}= \bruch{7}{9}[/mm]
> Verstehste das so?
Ne, das verstehe ich alles gar nicht... [mm] \bruch{7}{9} [/mm] ist wohl ein Tippfehler?
Aber warum betrachten wir den Fall P(rot,rot) -> als zweites sollte doch nicht rot gezogen werden.
Und warum fallen meine vier vorgeschlagenen Fälle unter den Tisch? :
(rot, schwarz), (rot, weiß), (weiß, schwarz), (weiß, weiß)
Ich sehe bedauerlicherweise nicht den Kontext zwischen deiner Rechnung und der Aufgabe, d.h. der rot, rot Fall soll das ausgeschlossen werden (weil zweite Kugel nicht rot sein darf)
> Gruß Michi
Gruß Phoney
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
Vergib mir, ich hab die Worte nicht in deiner Aufgabenstellung überlesen. *schäm*
Hab gerade auch nicht keine Zeit von vorne anzufangen. Wenn das später kein anderer gemacht hat, mach ich das.
Sorry nochmal!!!!!
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Hallo,
ich kann eigentlich gar keine Frage erkennen.
Deine Lösung ist meiner Meinung nach richtig.
Schlurcher
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Do 23.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Hier noch einmal die Aufgabe, meine Lösung war leider nicht richtig.
| Aufgabe |
Eine Urne enthält 5 rote, drei weiße und zwei schwarze Kugeln.
Der Urne werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel nicht rot ist, wenn die erste Kugel nicht schwarz war?
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Mein Lösungsansatz war folgender:
p("...")= $ [mm] \bruch{5}{10}\cdot{} \bruch{2}{9}+ \bruch{5}{10}\cdot{} \bruch{3}{9}+ \bruch{3}{10}\cdot{} \bruch{2}{9}+ \bruch{3}{10}\cdot{} \bruch{2}{9} [/mm] $ = 0,41111
oder mathematisch ausgedrückt:
p(A [mm] \cap [/mm] B)
A: Erste Kugel nicht schawrz
B: Zweite Kugel nicht rot
A [mm] \cap [/mm] B 1. Kugel nicht schwarz [mm] \wedge [/mm] 2. Kugel nicht rot.
Dieses p(A [mm] \cap [/mm] B) habe ich ja schon errechnet, 41,11%
Die Lösung der Aufgabe lautet nun
p("...")= [mm] \bruch{p(A \cap B)}{p(B)}
[/mm]
Warum muss ich dann noch einmal durch die Wahrscheinlichkeit p(B) teilen? Das verstehe ich nicht wirklich.
Dieses Baumdiagramm oder der Fall p(A [mm] \cap [/mm] B) müsste alles abgedeckt haben??
Gruß
Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Do 23.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Johann,
auch hier hast du die ![[]](/images/popup.gif) bedingte Wahrscheinlichkeit, die gesucht wurde. Das bedeutet so viel wie: Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel nicht rot ist, wenn du schon weißt, dass die erste Kugel nicht schwarz ist. Dieses Wissen reduziert ja die Anzahl der möglichen Ergebnisse, die eingetreten sein können. (Z.B. weißt du damit, dass das Ergebnis (Schwarz,Weiß) ausgeschlossen ist.)
> oder mathematisch ausgedrückt:
> p(A [mm]\cap[/mm] B)
> A: Erste Kugel nicht schawrz
> B: Zweite Kugel nicht rot
>
> A [mm]\cap[/mm] B 1. Kugel nicht schwarz [mm]\wedge[/mm] 2. Kugel nicht
> rot.
>
> Dieses p(A [mm]\cap[/mm] B) habe ich ja schon errechnet, 41,11%
>
> Die Lösung der Aufgabe lautet nun
>
> p("...")= [mm]\bruch{p(A \cap B)}{p(B)}[/mm]
>
> Warum muss ich dann noch einmal durch die
> Wahrscheinlichkeit p(B) teilen? Das verstehe ich nicht
> wirklich.
>
Irgendwie scheinen aber die Rollen von A und B in dieser Gleichung vertauscht zu sein... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Gesucht ist ja mit deinen Notationen:
[mm]P(B|A)=\bruch{P(B \cap A)}{P(A)}[/mm].
Du teilst nochmal durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, da du weißt, dass es bereits eingetreten ist.
Beim zweimaligen Münzwurf ist das leicht einzusehen:
Wenn du die Wahrscheinlichkeit berechnen möchtest, dass zweimal Kopf ("KK") geworfen wurde und du schon weißt, dass mindestens einmal Kopf geworfen wurde, dann schließt du damit das Ereignis "Keinmal Kopf" ("ZZ") aus. Du hast also nur noch drei mögliche Ereignisse, von denen eines "Zweimal Kopf" ist. Es gilt also:
$P(KK [mm] |KK,KZ,ZK)=\bruch{P( KK )}{P(KK,KZ,ZK)}=\bruch{\bruch{1}{4}}{\bruch{3}{4}}=\bruch{1}{3}$.
[/mm]
Nur [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] wäre ja nicht mehr richtig, da nur noch drei Ereignisse zutreffen können!
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Do 23.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Moin.
>
> Irgendwie scheinen aber die Rollen von A und B in dieser
> Gleichung vertauscht zu sein...
Unfassbar, wie kann man so etwas nur erkennen. Stimmt, da habe ich sie leider vertauscht..
> Gesucht ist ja mit deinen Notationen:
>
> [mm]P(B|A)=\bruch{P(B \cap A)}{P(A)}[/mm].
>
> Du teilst nochmal durch die Wahrscheinlichkeit des
> Ereignisses A, da du weißt, dass es bereits eingetreten
> ist.
Warum denn durch das Ereignis A, also dass die Kugel nicht schwarz ist:
[mm] \bruch{5}{10}+ \bruch{3}{10}
[/mm]
Warum addiere ich nicht noch dazu, dass die zweite Kugel nicht rot ist?
D.h. [mm] \bruch{3}{9}+ \bruch{2}{9} [/mm]
Geteilt durch 9, weil eine Kugel schon weg ist. Hm, okay, dann könnte es auch sein, dass eine weiße schon weg ist.
Warum addiere ich dann nicht zu den 8/10 die Wahrscheinlichkeit für den Fall [mm] \bruch{3}{9}+ \bruch{2}{9} [/mm] (weiß, schwarz ; weiß wurde am Anfang nicht gezogen) und die Wahrscheinlichkeit weiß,schwarz = [mm] \bruch{2}{9} +\bruch{2}{9} [/mm] (weiß wurde gezogen)
?
> Beim zweimaligen Münzwurf ist das leicht einzusehen:
>
> Wenn du die Wahrscheinlichkeit berechnen möchtest, dass
> zweimal Kopf ("KK") geworfen wurde und du schon weißt, dass
> mindestens einmal Kopf geworfen wurde, dann schließt du
> damit das Ereignis "Keinmal Kopf" ("ZZ") aus. Du hast also
> nur noch drei mögliche Ereignisse, von denen eines "Zweimal
> Kopf" ist. Es gilt also:
>
> [mm]P(KK |KK,KZ,ZK)=\bruch{P( KK )}{P(KK,KZ,ZK)}=\bruch{\bruch{1}{4}}{\bruch{3}{4}}=\bruch{1}{3}[/mm].
>
> Nur [mm]\bruch{1}{4}[/mm] wäre ja nicht mehr richtig, da nur noch
> drei Ereignisse zutreffen können!
Das war ein sehr schönes Beispiel, was mir etwas Licht ins Dunkle gebracht hat! Die Sache der bedingten Wahrscheinlichkeit muss ich wohl noch einmal etwas vertiefen.
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Do 23.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Johann,
> > Gesucht ist ja mit deinen Notationen:
> >
> > [mm]P(B|A)=\bruch{P(B \cap A)}{P(A)}[/mm].
> >
> > Du teilst nochmal durch die Wahrscheinlichkeit des
> > Ereignisses A, da du weißt, dass es bereits eingetreten
> > ist.
>
> Warum denn durch das Ereignis A, also dass die Kugel nicht
> schwarz ist:
> [mm]\bruch{5}{10}+ \bruch{3}{10}[/mm]
weil man die Wahrscheinlichkeit von $A [mm] \cap [/mm] B$ - auch laut Defnition(!) - quasi auf die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bezieht. Ich berechne, ganz salopp gesagt, den Anteil der Wahrscheinlichkeit von $A [mm] \cap [/mm] B$ an der Wahrscheinlichkeit von A (von dem ich ja bereits weiß, dass es eingetreten ist!)
Man rechnet einfach:
[mm]P(B|A)=\bruch{P(B \cap A)}{P(A)}=\bruch{\bruch{37}{90}}{\bruch{8}{10}}=\bruch{37}{72}[/mm] (Stimmt das?)
> Warum addiere ich nicht
> noch dazu, dass die zweite Kugel nicht rot ist?
Mathematisch: Laut Defnition
Intuitiv: Weil deine Bedingung ja nur ist: A ist eingetreten. (Also erste Kugel ist nicht schwarz). In deiner Bedingung weißt du nichts über die zweite Kugel!!
Du teilst also immer durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung A.
> Das war ein sehr schönes Beispiel, was mir etwas Licht ins
> Dunkle gebracht hat! Die Sache der bedingten
> Wahrscheinlichkeit muss ich wohl noch einmal etwas
> vertiefen.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Gute Idee!
Viele Grüße
Astrid
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