Kumulierte Binomialverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mi 18.05.2011 | | Autor: | eistee03 |
| Aufgabe 1 | Eine Münze ist derart gefälscht,dass die Wahrscheinlichkeit für Kopf auf 70% erhöht ist.
a)Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 Würfen dennoch höchstens 10-mal Kopf kommt? |
| Aufgabe 2 | b): Einem Spieler wird angeboten, bei einem Einsatz von 2€ die Münze 50-mal zu werfen. 20€ werden ausgezahlt,wenn es ihm gelingt, nicht mehr als 30-mal Kopf zu werfen.
Ist das Spiel günstig für diesen Spieler? |
| Aufgabe 3 | | c): Das Spiel aus Teilaufgabe b soll fair werden. Wie muss die Höhe des Einsatzes festgelegt werden? |
Guten Tag!
Wir haben heute mit Aufgaben zu der Binomialverteilung angefangen. Ich konnte diese Aufgabe weitgehend lösen, doch benötige ich Hilfe bei dem Aufgabenteil c).
Meine Lösungen:
a) n=20 p=0,7 Treffer: Es faellt Kopf P(X<10)
P(X<10) = (20;0,7;10)
= 1 - 0,9520 = 0,048 = 4,8%
b) n=50 p=0,7 Treffer: Es faellt Kopf P(X<30)
P(X<30) = (50;0,7;30)
= 1 - 0,9152 = 0,0848 = 8,48%
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 50 Würfen 'Kopf' höchstens 30x faellt betraegt 8,48%. Da es sich um eine Wahrscheinlichkeit unter 10% handelt, lohnt sich das Spiel meiner Meinung nach nicht.
c) Nun liegt hier mein Problem, dass ich nicht weiss wie ich meine Begründung in Teilaufgabe b 'mathematisch' begründen kann und wie ich das Spiel 'fair' machen kann.
Danke im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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Hallo,
deine Rechenergebnisse zu a) und b) habe ich jetzt nicht überprüft. Aber einen Tipp zu c) hätte ich anzubieten: du musst hier Spieleinsatz und/oder Gewinn so anpassen, dass das Spiel langfristig Null auf Null aufgeht. Das mathematische Stichwort heißt hier Erwartungswert, und der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen ist bekanntlich gegeben durch
[mm]E(X)=n*p[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mi 18.05.2011 | | Autor: | eistee03 |
Also, heisst das der Erwartungswert muss = 0 sein? Aber das ergibt für mich nicht wirklich einen Sinn.
Der Erwartungswert für n=50 und p=0,7 ist:
E(X) = 50 * 0,7 = 35
das heisst ja dann eigentlich wenn ich die Trefferwahrscheinlichkeit p auf 0 setze, dass ich dann einen Erwartungswert von 0 habe. Das hilft mir aber nicht wirklich weiter. Ich denke ich benötige auch den Einsatz für das Spiel, man setzt ja 2€ ein und im Falle von einem Gewinn bekommt man 20€, d.h. man gewinnt sozusagen nur 18€.
Ich weiss nicht ob ich mich da richtig erinnere, aber ein Spiel ist doch fair, wenn man eine Chance von 0,5 hat um zu gewinnen und um zu verlieren. Da ich bei dieser Aufgabe lediglich den Einsatz aendern soll, denke ich aber das ich damit nicht weiter komme..
Dürfte ich einen weiteren Tipp bekommen? :)
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Hallo,
der Tipp mit dem Erwartungswert der Binomialverteilung war vorschnell und daher versuche ich mal, den Lösungswef hier etwas genauer zu skizzieren:
Setze bspw. den Gewinn fest und den Einsatz variabel.
- Führe eine neue Zufallsvariable ein, welcher die Differenz Gewinn-Einsatz zugeordnet ist. Welchen Wertevorrat besitzt diese ZV?
- Berechne den Erwartungswert für diese Zufallsvariable. Das ist nicht schwierig, da sie nur zwei Werte annehmen kann. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten bekommst du aus deiner Binomialverteilung.
- Setze den so erhaltenen Term gleich Null, so erhältst du eine Gleichung für den zunächst unbekannten Spieleinsatz.
Gruß, Diophant
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> Eine Münze ist derart gefälscht, dass die
> Wahrscheinlichkeit für Kopf auf 70% erhöht ist.
Ich möchte gerne wissen, wie man eine derartige
Münze (die wirklich auch aussehen soll wie eine
normale Münze) wirklich machen könnte.
Die Münze soll beim Werfen nicht etwa durch
ein magnetisches Feld beeinflusst werden ...
Mein Interesse bezieht sich nur auf die Physik
und nicht etwa auf mögliche Nutzanwendungen
im Falschspiel ... 
Nebenbei: ich weiss sehr wohl, dass es leicht
ist, Münzen mit P("Kopf") = 0% zu machen ...
Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Mi 18.05.2011 | | Autor: | eistee03 |
Hallo..
Vorweggenommen - ein sehr nützlicher Beitrag. Aber danke. Ich kann dir leider nicht sagen wie man eine Münze so veraendert. Du könntest die Autoren meines Mathebuchs fragen.
Grüsse.
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Hallo,
Aufgabe a) hast du richtig. Auch bei der b) ist die errechnete Wahrscheinlichkeit richtig. Aber ab jetzt ist deine Überlegung völlig falsch:
Du hast zwei Ereignisse, entweder höchstens 30-mal Kopf oder mehr als 30-mal Kopf. Diesen Ereignissen musst du den Gewinn des Spielers (also Gewinnauszahlung-Einsatz) zuordnen. Für die so erhaltene Zufallsvariable musst du den Ewratungswert bestimmen. Ist dieser gleich Null, so ist das Spiel fair, ist er positiv, so kann man dem Spieler zu dem Spiel zuraten usw.
Gruß, Diophant
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