Kunita-Watanabe Ungleichung < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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In einem Buch (Durrett: Stochastic Calculus) ist die Kunita-Watanabe Ungleichung wie folgt gegeben:
[mm] \[\int_0^{\infty}|H_sK_s|d|\langle X,Y\rangle|_s \le\left(\int_0^{\infty}H_s^2d\langle X\rangle_s\int_0^{\infty}K_s^2d\langle X\rangle_s \right)^{\frac12}\quad\text{a.s.},\]
[/mm]
wobei [mm] $\var [/mm] X$ und [mm] $\var [/mm] Y$ lokale Martingale und [mm] $\var [/mm] H$ und [mm] $\var [/mm] K$ messbare Prozesse sind. Mit [mm] $|\langle X,Y\rangle|_s$ [/mm] ist die totale Variation von [mm] $r\to\langle X,Y\rangle_r$ [/mm] auf [mm] $\var [/mm] [0,s]$ gemeint. [mm] $\langle .\rangle$ [/mm] ist der "bracket process" und Integrale sind im Lebesgue-Stieltjes Sinne zu verstehen...
In einem Beweis aus dem selben Buch wird nun behauptet, dass aus der obigen Ungleichung [mm] $|\langle X,Y\rangle|_t \le\big(\langle X\rangle_t\langle Y\rangle_t\big)^{\frac12}$ [/mm] folgt. Das verstehe ich aber nicht so wirklich:
Vorschlag: In der Kunita-Watanabe Ungleichung vielleicht $H=K=1$ einsetzen:
[mm] \[ |\langle X,Y\rangle|_t =\int_0^td|\langle X,Y\rangle|_s \le\left(\int_0^td\langle X\rangle_s\int_0^td\langle X\rangle_s \right)^{\frac12} =\big(\langle X\rangle_t\langle Y\rangle_t\big)^{\frac12}.\]
[/mm]
Dann hätte ich, was ich haben will, allerdings habe ich als obere Integrationsgrenze einfach [mm] $\var [/mm] t$ statt [mm] $\infty$ [/mm] geschrieben. Ist das überhaupt richtig und wenn ja, hat jemand eine Idee, warum ich das tun darf?
Vielen Dank schonmal fürs Interesse.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Di 12.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $K_s= H_s [/mm] = [mm] 1_{[0,t]}(s)$
[/mm]
oder?
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Di 12.07.2011 | | Autor: | Mr.Teutone |
Ähm, ja natürlich... Vielen Dank. 
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