Kurve rektifizierbar!?!? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:46 Mi 12.05.2004 | | Autor: | rossi |
Guten Abend ;)
also wär recht dankbar, wenn mir jemand nen kleinen Tipp gibt, wie man da weiterkommt....
Untersuche ob die Kurve f:[0,1] --> [mm] \IR\ ^2[/mm]
[mm]
t ---> \left\{\begin{matrix}
(t, t sin(PI/t)) & { fuer } & t \ne 0 \\
(0,0 ) & { fuer } & t=0
\end{matrix}\right. [/mm]
rektifizierbar ist!
Naja rektivizierbar heißt ja, dass die Ableitung stetig ist... aber kann ich da einfach die beiden einzelnen Zeile ableiten und dann auf stetigkeit überprüfen - irgendwie nicht - oder?!
Also wär nett, wenn da wer weiter wüsste....
Gruß
Rossi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
nein, eine Kurve [mm]f:[0,1] \to \IR^2[/mm] heißt rektifizierbar, wenn es eine Konstante [mm]0 \le \lambda < \infty[/mm] gibt, so dass für alle Zerlegungen
[mm]{\cal Z}: 0 = t_0 < t_1< \ldots < t_n = 1[/mm]
des Intervalls [mm][0,1][/mm] gilt:
[mm]l({\cal Z};f) \le \lambda[/mm],
wobei
[mm]l({\cal Z};f) := \sum_{k=1}^n \Vert f(t_k) - f(t_{k-1}) \Vert_2[/mm]
die Länge des entsprechende Polygonzuges ist.
Man kann zeigen, dass [mm]f[/mm] genau dann rektifizierbar ist, wenn die Koordinatenabbildungen von beschränkter Variation sind.
Die zweite Koordinatenabbildung:
[mm] f_2(t) =t \sin(\frac{\pi}{t})[/mm]
ist aber nicht vonr beschränkter Variation.
Überlege dir das bitte!
Finde also eine Folge von Zerlegungen
[mm]{\cal Z}_n:\, 0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = 1[/mm],
für die mit
[mm]\mbox{Var}({\cal Z}_n,f_2) ) = \sum_{i=1}^n |f_2(t_{i}) - f_2(t_{i-1})|[/mm]
gilt:
[mm]\lim\limits_{n \to \infty} \mbox{Var}({\cal Z}_n,f_2) = + \infty[/mm].
Das ist leicht: Überlege dir, wann [mm]f_2[/mm] gleich [mm]1[/mm] und wann gleich [mm]0[/mm] ist!
Melde dich wieder mit einem Lösungsvorschlag oder weiteren Fragen...
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mi 12.05.2004 | | Autor: | rossi |
mmm irgendwie versteh ich des noch nicht so ganz...
wie soll ich da ne Folge reinbasteln!?
Hab mir jetzt die Funktion zeichnen lassen - aber so recht weiß ich nicht, wie ich des machen soll ...
gruß zurück....
Rossi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo rossi,
versuche es mal mit der Folge der Zerlegungen:
[mm]0 < \frac{1}{n + \frac{1}{2}} < \frac{1}{n} < \frac{1}{(n-1) + \frac{1}{2}} < \ldots < \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} < 1[/mm].
Wie groß ist dann für diese Zerlegung die Variation?
Und jetzt betrachte den Ausdruck für [mm]n \to \infty[/mm].
Na? Na also!
Bei Fragen: Matheraum! 
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Mi 12.05.2004 | | Autor: | rossi |
DINGdooooooooooooooooooooong
jaaaa ... es ist oben angekommen .. ich habs auch mit genau der gemacht, aber erst wo ichs etz so gesehen hab mit "kleiner" 1/n und "größer" also 1/n ist es mir aufgefallen!!!
DANKE!!!!
schönen Abend noch....
Rossi
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