Kurvendiskussion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion.
f(x) = x - ln(x) |
Ich habe bereits herausgefunden, dass diese Funktion keine Nullstellen hat. Meine Frage: wie kann man dies rechnerisch zeigen?
Danke im Vorraus.
|
|
| |
|
Hallo,
> Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion.
> f(x) = x - ln(x)
> Ich habe bereits herausgefunden, dass diese Funktion keine
> Nullstellen hat.
Das ist korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Meine Frage: wie kann man dies rechnerisch
> zeigen?
Der gewöhnliche Weg - gerade in der Schule - wäre der, nachzurechnen, dass die Funktion an der Stelle [mm] x_0=1 [/mm] ihr globales Minimum mit f(1)=1>0 annimmt.
Mit der Kenntnis insbesondere der Logarithmusfunktion kann man sich leicht klarmachen, dass der Bereich für mögliche Nullstellen wenn überhaupt dann bei x-Werten mit x>1 beginnt (denn links von x=1 ist die ln-Funktion negativ). Nun besitzt die erste Winkelhalbierende, also die Gerade y=x überall die Steigung 1, die Steigung der Logarithmusfunktion ist jedoch oberhalb von x=1 durchgehend kleiner als 1 und strebt ja für [mm] x->\infty [/mm] gegen Null.
Daraus ergibt sich dann die Tatsache rein argumentativ.
Was natürlich nicht funktioniert, ist der Versuch, die Lösungsmenge für die Gleichung
x-ln(x)=0
durch Auflösen nach x zu bestimmen (aber ich denke, dass war dir klar und deshalb hast du ja erst die Frage gestellt).
Gruß, Diophant
|
|
|
|
