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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Sa 07.10.2006
Autor: Loon

Aufgabe
f(x) = [mm] x^4 [/mm] - 6x² + 8

Ich habe eine Kurvendiskussion für die obenstehende Funktion durchgeführt und wüsste gerne, ob sie richtig ist!

Definitionsbereich: D = R

Nullstellen:
[mm] x^4-6x²+8 [/mm] = 0
x = 2 ; x=-2
x = [mm] \wurzel{2} [/mm] ; [mm] x=-\wurzel{2} [/mm]

Verhalten im Unendlichen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x^4 [/mm] -6x² +8) --> positiv unendlich
für x gegen negativ unendlich: --> positiv unendlich

Extremstellen:
1. Ableitung: f'(x) = 4x³-12x
Kriterium für Extrempunkt: f'(x) = 0

4x³-12x= 0
x(4x²-12) = 0
x = 0
oder 4x²-12 = 0
x² - 3 = 0
x = [mm] \wurzel{3} [/mm]
x= [mm] -\wurzel{3} [/mm]
Einsetzen der Werte in die Ursprungsgleichung:
f(0) = 8
[mm] f(\wurzel{3}) [/mm] = -1
[mm] f(-\wurzel{3}) [/mm] = -1

Es liegen 3 Extrempunkte vor:
EP1 ( 0/8)
EP2 [mm] (\wurzel{3} [/mm] /-1)
EP3 [mm] (-\wurzel{3} [/mm] / -1)

Bestimmen der 2. Ableitung: f''(x) = 12x-12
Einsetzen der Werte der Extrempunkte in die 2. Ableitung:

f''(0) = -12 --> Hochpunkt
Zu den anderen beiden Ergebnissen habe ich eine Frage: Ich bekommen für [mm] f''(-\wurzel{3}) [/mm] ein negatives Ergebnis, obwohl es sich bei diesem Extrempunkt um einen Tiefpunkt handeln muss; wegen der Symmetrie.

Wendepunkt:
Kriterien: f''(x) = 0
f'''(x) [mm] \not=0 [/mm]

2. Ableitung = 0 setzen; daraus folgt x=1
Einsetzen in die Ursprungsgleichung: y = 3
möglicher Wendepunkt: (1/3)
f'''(x) = 12 --> (1/3) ist ein Wendepunkt.

Symmetrie:  f(-x) = [mm] x^4 [/mm] -6x²-8
F(x) = f(-x)
Der Graph ist achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten vorliegen und f(x) = f(-x) ist. Eine Punktsymmetrie liegt nicht vor.

Auf Grund der Symmetrie lässt sich auf einen 2. Wendepunkt bei (-1/3) sowie auf ein 2. Minimum [mm] (-\wurzel{3} [/mm] / -1) schließen.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Kurvendiskussion: 2. Ableitung falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Sa 07.10.2006
Autor: Loddar

Hallo Loon,

[willkommenmr] !!


> Definitionsbereich: D = R

[ok]

  
> Nullstellen:
> [mm]x^4-6x²+8[/mm] = 0
> x = 2 ; x=-2
> x = [mm]\wurzel{2}[/mm] ; [mm]x=-\wurzel{2}[/mm]

[ok]


  
> Verhalten im Unendlichen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (x^4[/mm] -6x² +8) --> positiv
> unendlich
> für x gegen negativ unendlich: --> positiv unendlich

[ok]



> Extremstellen:
> 1. Ableitung: f'(x) = 4x³-12x
> Kriterium für Extrempunkt: f'(x) = 0
>  
> 4x³-12x= 0
> x(4x²-12) = 0
> x = 0
> oder 4x²-12 = 0
> x² - 3 = 0
> x = [mm]\wurzel{3}[/mm]
> x= [mm]-\wurzel{3}[/mm]
> Einsetzen der Werte in die Ursprungsgleichung:
> f(0) = 8
> [mm]f(\wurzel{3})[/mm] = -1
> [mm]f(-\wurzel{3})[/mm] = -1

[ok]


> Es liegen 3 Extrempunkte vor:
> EP1 ( 0/8)
> EP2 [mm](\wurzel{3}[/mm] /-1)
> EP3 [mm](-\wurzel{3}[/mm] / -1)

[ok] Auch wenn du ja erst überprüfen musst, ob es sich auch wirklich um Extremstellen handelt. Aber das kommt ja nun ...


> Bestimmen der 2. Ableitung: f''(x) = 12x-12

[notok] Hier hast Du doch glatt ein [mm] $(...)^{\red{2}}$ [/mm] unterschlagen:

$f''(x) \ = \ [mm] 12*x^{\red{2}}-12$ [/mm]


> Einsetzen der Werte der Extrempunkte in die 2. Ableitung:
>  
> f''(0) = -12 --> Hochpunkt

[ok]


> Zu den anderen beiden Ergebnissen habe ich eine Frage: Ich
> bekommen für [mm]f''(-\wurzel{3})[/mm] ein negatives Ergebnis,
> obwohl es sich bei diesem Extrempunkt um einen Tiefpunkt
> handeln muss; wegen der Symmetrie.

Das sollte sich ja nun mit der richtigen 2. Ableitung erledigt haben, oder? ;-)



> Wendepunkt:
> Kriterien: f''(x) = 0
> f'''(x) [mm]\not=0[/mm]
>  
> 2. Ableitung = 0 setzen; daraus folgt x=1
> Einsetzen in die Ursprungsgleichung: y = 3
> möglicher Wendepunkt: (1/3)

[ok]


> f'''(x) = 12 --> (1/3) ist ein Wendepunkt.
>  
> Symmetrie:  f(-x) = [mm]x^4[/mm] -6x²-8
> F(x) = f(-x)
> Der Graph ist achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten
> vorliegen und f(x) = f(-x) ist. Eine Punktsymmetrie liegt nicht vor.

[ok]


> Auf Grund der Symmetrie lässt sich auf einen 2. Wendepunkt
> bei (-1/3) sowie auf ein 2. Minimum [mm](-\wurzel{3}[/mm] / -1)
> schließen.

Und wie oben schon angedeutet: mit dem richtigen $f''(x)_$ lässt sich das auch rechnerisch zeigen.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:09 Sa 07.10.2006
Autor: Loon

Dankeschön, immer diese Flüchtigskeitsfehler ;)
Bezug
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