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Ich soll folgende Funktion diskutieren:
[mm] f(x) = ln ( \bruch {x}{x^2+1} +0,5 )[/mm], wobei ich es mir etwas einfacher mache, und erstmal nur das Argument von ln ansehe, also [mm] \bruch {x}{x^2+1} +0,5 [/mm]
1. Definitionsbereich [mm] \IR
[/mm]
2. Keine Definitionslücken, da Nenner immer positiv.
3. Funktion läuft gegen 0,5
4. Nullstelle bei 1,-1 (gefunden durch einsetzen, sieht man schon am [mm]x^2[/mm] )
5. Und bei der Monotonie setzt es irgendwie aus, ich weiss, wenn ich beweisen will, das die Funktion z.b. monoton steigend ist, das ich dann beweisen muss das der Nachfolger eines x immer größer und der Vorgänger immer kleiner ist. Bei Folgen und Reihen geht das ja immer durch z.B. vollständige Induktion. Aber bei gebrochen rationalen Funktionen??
Vielleicht hat ja noch jmd. eine Idee, es steht auch explizit in der Aufgabe, das nicht nach der zweiten Ableitung gefragt ist - was mich noch mehr verwirrt. :)
Danke!
David
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Hallo Dave,
wenn ich Deinen Nickname ernst nähme, müßte ich Dir jetzt befehlen, die Nullstellen durch Rechnung zu ermitteln....
Im Ernst, was hast Du wo eingesetzt, um eine Nullstelle bei x=1 zu erhalten? x ist dann > 0, [mm] x^2+1 [/mm] ebenfalls und 1/2 war's auch schon immer....
zu 5. zur Monotonie braucht man zunächst die additive Konstante nicht mehr - wech damit! dann bleibt zu zeigen für [mm] $-1
und für $ 1 [mm] \le x_{1,2}$: [/mm] $ [mm] x_{1}f(x_{2}) [/mm] $
Viel Spaß dabei (hä - hä),
Peter
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