Kurvendiskussion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Forum!
Bei meinen Klausurvorbereitunge bin ich auf eine Aufgabe gestossen die mir einige Probleme macht. Speziell beim bestimmen von Minima und Maxima.
Aufgabe:
[mm] f(x)=e^{-x} * \ln(x)[/mm]
Ich bilde die erste Ableitung, welche lautet:
[mm]-e^{-x}* \ln(x) + \bruch{e^{-x}}{x}[/mm], und möchte diese jetzt Null setzen. Nur kann ich keine Wert erkennen wo diese Ableitung Null wird, die exp. Funktion steht ja als Faktor vor dem ln. Und diese wird ja bekanntlich nicht Null.
Heisst das nun, das es keine Extremstellen gibt oder mache ich was komplett falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Deine erste Ableitun stimmt. Klammer doch dort mal das [mm]e^{-x}[/mm] aus: [mm]f'(x)=e^{-x} \cdot (\bruch{1}{x} - ln(x))[/mm].
Und ein Produkt aus [mm]e^{-x}[/mm] und der Klammer wird ja dann =0, wenn entweder das [mm]e^{-x}[/mm] =0 wird (was ja nie passiert), oder die Klammer =0 wird - da wirst du mehr Glück haben 
|
|
|
| |
|
Hi und danke für den Hinweis!
Wenn ich die Klammer selbst betrachte, also z.B. [mm]-ln(x)[/mm] wird das ja an der Stelle 1 null. Richtig/Falsch? :)
Aber dann habe ich ja noch das [mm] \bruch{1}{x}[/mm], was aber nicht null werden kann. Es nähert sich zwar der X-Achse an, schneidet diese jedoch nicht.
Angenommen, ich würde eine Nullstelle bei der ersten Ableitung finden. Was sagt mir das? Kann ich daraus wirklich ein minimum, maximum erkennen?
Danke!
David
|
|
|
| |
|
Die Frage ist nicht, wann die "Einzelteile" der Klammer =0 werden, sondern wann die ganze Klammer =0 wird, also für welche(s) x gilt: [mm]\bruch{1}{x}=ln(x)[/mm].
Diese Gleichung elementar lösen geht glaub ich gar nicht, da wirst ein Näherungsverfahren brauchen (z.B. Newton-Verfahren).
Hier der Graph der beiden Funktionen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Kannst deine Lösung ja dann mit der graphischen Lösung vergleichen.
Laut Maple ist die Lösung der Gleichung [mm]\bruch{1}{x}=ln(x)[/mm] "[mm]\bruch{1}{LambertW(1)}[/mm]". Lambertsche W-Funktion... hab das Wort schon mal gehört, kenne die Funktion aber nicht "persönlich". Also googlen, oder einfach nen Näherungswert berechnen.
Wenn du nen x-Wert findest, dann isses zuerstmal nur ein Kandidat für nen Extrempunkt.
Der Test erfolgt mit der 2. Ableitung. Sei [mm]x_E[/mm] also die Nullstelle der ersten Ableitung. Dann gilt:
[mm]f''(x_E)<0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] Hochpunkt
[mm]f''(x_E)>0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] Tiefpunkt
Kommt =0 raus, dann ist noch keine Aussage möglich. Falls das wirklich "passiert", dann melde dich nochmal.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Sa 22.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Ach ja, [mm]ln(1)=0[/mm] ist richtig, aber für die Lösung dieser Aufgabe nicht wichtig.
|
|
|
|
