Kurvendiskussion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:44 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Hallo Leute,
hat jemand vielleicht eine Kurvendiskussion und könnte die mal Schritt für Schritt mit mir zusammen durchgehen? Ich komm echt nicht klar damit :(
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
du musst schon etwas präziser sein.
Was verstehst du genau nicht?
Nimm dir doch eine Aufgabe zur Hand, stelle sie hier und sag uns, wo du Schwierigkeiten hast.
Ich glaube nicht, dass hier jemand eine vollständige Kurvendiskussion an einer Aufgabe durchführt und letzten Endes, wie so oft, kein Feedback dazu bekommt.
Also: Aufgabe her und wir helfen.
Gruß
ChopSuey
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Also schön...
f(x) = [mm] 5x^3-50x^2+215x+360
[/mm]
Jetzt weiss ich, dass ich die Ableitungen bilden muss welche sein sollten:
f'(x) = [mm] 15x^2-100x+215
[/mm]
f''(x) = 30x-100
f'''(x) = 30
Als nächstes ist dann wohl das Symmetrieverhalten zur y-Achse und zum KO-Ursprung dran aber da haperts schon bei mir.
Ich weiss zwar, dass die Formel dazu
f(x)=(f-x) zur y-Achse und
f(x)=-f(-x0) zum Ursprung sind, aber ich habe schon keine Ahnung wie ich das jetzt einsetzen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Rino |
Für die Achsensymmetrie setz einfach bei $f$ überall wo ein $x$ steht ein $-x$ ein (also ist [mm] $f(-x)=5(-x)^3-50(-x)^2+215(-x)+360$) [/mm] und guck ob das gleiche wie $f(x)$ rauskommt.
Dasselbe machst du auch bei der Punktsymmetrie zum Ursprung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Also hätte ich hier jetzt raus:
[mm] -5x^3-50x^2-215x+360 [/mm] und damit wäre es ungleich zur y-Achse, oder?
und zum Ursprung hätte ich dann:
[mm] -(-5x^3-50x^2+215x+360) [/mm] das ausgerechnet wäre dann
[mm] 5x^3+50x^2-215x-360
[/mm]
Und da sich das nur im VZ unterscheidet ist es symmetrisch zum Ursprung.
Seh ich das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chizzo!
Es ist weder achsen- noch punktsymmetrisch. Denn es muss dann mit dem Einsetzen schon 100%ig übereinstimmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Auf meinem Merkblatt steht: Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung, wenn zu symmetrischen x-Koordinaten x0, -x0 sich die y-Koordinaten nur in ihrem Vorzeichen unterscheiden... (Wie habe ich das in Bezug auf meine Aufgabe hier zu verstehen?)
Habe ich denn dann wenigstens richtig eingesetzt und gerechnet?
Was käme als nächstes dran bei einer Kurvendiskussion? (Hier bin ich leider mit meinem Latein schon am Ende)
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Hi,
also du hast $\ f(x) = [mm] 5x^3-50x^2+215x+360 [/mm] $
Achsensymmetrisch, wenn: $\ f(-x) = f(x) $
$\ f(-x) = [mm] 5(-x)^3-50(-x)^2+215(-x)+360 [/mm] = [mm] -5x^3-50x^2-215x+360 [/mm] $
$\ [mm] \Rightarrow [/mm] f(-x) [mm] \not= [/mm] f(x) $
Also nicht Achsensymmetrisch.
Punktsymmetrisch funktioniert genauso, mit der Bedingung $\ f(-x) = -f(x)$
Prüfe das mal.
Als nächstes solltest du Maxima und Minima bestimmen.
Setze zunächst $\ f'(x) = 0 $. Kannst du dir vorstellen, warum?
Du erhältst die Stellen $\ [mm] x_0 [/mm] $ an denen Extrema vorliegen.
Kriterien:
Maximum $\ f''(x) < 0 $
Minimum $\ f''(x) > 0 $
Sobald du das getan hast, koenntest du dir Gedanken ueber das Monotonieverhalten des Graphen machen.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Wir haben folgende Beispielaufgabe dazu im Unterricht gehabt:
[mm] f(x)=2x^3-x
[/mm]
[mm] f(-x)=2(-x)^3-(-x)
[/mm]
[mm] =-2x^3+x
[/mm]
[mm] -f(-x)=-(-2x^3+x)
[/mm]
[mm] =2x^3-x
[/mm]
Also ist das jetzt Ursprungssymmetrisch aber nicht Achensymmetrisch, richtig?
Bei meiner Aufgabe hier haben wir ja [mm] 5x^3-50x^2+215x+360 [/mm] und bei der Ursprungssymmetrie [mm] 5x^3+50x^2-215x-360... [/mm]
Kann es sein, dass das [mm] 5x^3 [/mm] den Ausschlag gibt? Wäre beispielsweise nach dem Einsetzen [mm] -5x^3 [/mm] rausgekommen => Wäre es dann Ursprungssymmetrisch?
Weiter im Text:
Nullsetzen von f'(x) so? : [mm] 0=15x^2-100x+215
[/mm]
Sind Maxima und Minima Hoch- und Tiefpunkte? Und ehrlich gesagt, nein.. ich weiss nicht warum ich f'(x) 0-setzen muss...
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Hallo,
> Wir haben folgende Beispielaufgabe dazu im Unterricht
> gehabt:
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> [mm]f(x)=2x^3-x[/mm]
> [mm]f(-x)=2(-x)^3-(-x)[/mm]
> [mm]=-2x^3+x[/mm]
>
> [mm]-f(-x)=-(-2x^3+x)[/mm]
> [mm]=2x^3-x[/mm]
>
> Also ist das jetzt Ursprungssymmetrisch aber nicht
> Achensymmetrisch, richtig?
>
>
> Bei meiner Aufgabe hier haben wir ja [mm]5x^3-50x^2+215x+360[/mm]
> und bei der Ursprungssymmetrie [mm]5x^3+50x^2-215x-360...[/mm]
>
> Kann es sein, dass das [mm]5x^3[/mm] den Ausschlag gibt? Wäre
> beispielsweise nach dem Einsetzen [mm]-5x^3[/mm] rausgekommen =>
> Wäre es dann Ursprungssymmetrisch?
Allgemein kannst du sagen, dass ein Polynom vom Grad n genau dann achsensymmetrisch zur y-achse ist, wenn es ausschließlich gerade Exponenten besitzt. Umgekehrt ist das Polynom nur dann punktsymmetrisch zum Ursprung wenn alle Exponenten ungerade sind. Nur um sich einen Überblick zu verschaffen.
> Weiter im Text:
>
> Nullsetzen von f'(x) so? : [mm]0=15x^2-100x+215[/mm]
Jo.
> Sind Maxima und Minima Hoch- und Tiefpunkte? Und ehrlich
> gesagt, nein.. ich weiss nicht warum ich f'(x) 0-setzen
> muss...
Naja schau Dir doch mal den Graphen der Funktion an. Was passiert denn mit der Tangente an einem Minimum (=Tiefpunkt) bzw. Maximum (=Hochpunkt) ?
Haben Sie noch eine Steigung ? Überlege Dir dann was die erste Ableitung für eine Aussagekraft hat über die Ausgangsfunktion.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Mit deiner Erklärung zu Punkt- und Achsensymmetrie bin ich jetzt eher noch verwirrter....
Ich würde fast behaupten, dass die Tangente an einem HP oder TP die Steigung 0 hat.
Also löse ich jetzt die Gleichung nach x auf?
[mm] 0=15x^2-100x+215
[/mm]
[mm] -215=15x^2-100
[/mm]
[mm] 2,15=15x^2-x
[/mm]
[mm] 0,143=x^2-x
[/mm]
Welche Aussagekraft auf HP oder TP hätte das jetzt?
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> Mit deiner Erklärung zu Punkt- und Achsensymmetrie bin ich
> jetzt eher noch verwirrter....
Okay, dann vergiss was ich geschrieben habe...
> Ich würde fast behaupten, dass die Tangente an einem HP
> oder TP die Steigung 0 hat.
Korrekt. ergo ist die Steigung dort null. Das bedeutet die erste Ableitung hat dort eine Nullstelle, deswegen f'(x)=0...
> Also löse ich jetzt die Gleichung nach x auf?
Ja, aber da wirst du mit deiner Methode nicht weit kommen... pq-Formel wäre hier das Stichwort, demnach ist
[mm] x_{1,2}=\bruch{-p}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)-q}
[/mm]
Für eine quadratische Gleichung in der Form $ [mm] x^2+p*x+q \equiv [/mm] 0 $
> [mm]0=15x^2-100x+215[/mm]
> [mm]-215=15x^2-100[/mm]
> [mm]2,15=15x^2-x[/mm]
> [mm]0,143=x^2-x[/mm]
>
> Welche Aussagekraft auf HP oder TP hätte das jetzt?
das hat noch gar keine Aussagekraft...
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Ok, pq-Formel kann ich noch :)
also hab ich
x1,2 = 100/2 +- Wurzel aus (-100/2) -25
x1,2=50 +- Wurzel aus -25
Da ich eine -Wurzel habe die ich nicht ziehen kann ergibt sich dann wohl, dass es keine Extremstellen gibt, kann das sein?
Und als nächstes muss ich dann wohl die 0-Stellen suchen. Wo liegt da der Ansatz?
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hi,
> Ok, pq-Formel kann ich noch :)
>
> also hab ich
>
> x1,2 = 100/2 +- Wurzel aus (-100/2) -25
> x1,2=50 +- Wurzel aus -25
Benutze doch bitte demnächst den Formel-Editor, das macht das ganz etwas übersichtlicher und für alle anderen einfacher zu lesen.
Du bekommst ausschließlich komplexe-konjugierte Lösungen, das ist korrekt. Es gibt also keine Extremstellen [mm] \in \IR.
[/mm]
Diese sind allerdings [mm] x_{1,2}=\bruch{10}{3}\pm\bruch{\wurzel{29}}{3}*i
[/mm]
Hast du vergessen am Anfang durch 15 zu teilen. beachte die für die pq-Formel erforderliche Form des Polynoms.
> Da ich eine -Wurzel habe die ich nicht ziehen kann ergibt
> sich dann wohl, dass es keine Extremstellen gibt, kann das
> sein?
s.o.
> Und als nächstes muss ich dann wohl die 0-Stellen suchen.
> Wo liegt da der Ansatz?
Naja Nullstellen der ersten Ableitung bedeutet f'(x)=0, dann bedeutet Nullstelle der Ausgangsfunktion... ?!
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Ich habe das Ding jetzt mal gezeichnet... Selbst wenn ich nen KO-System von 100.000 auf der X-Achse nehme sehe ich nur eine gerade, senkrechte Linie... aber bei [mm] x^3 [/mm] müsste es doch eigentlich eine Parabel sein, oder?
Hat vielleicht einer eine Funktion die nicht ganz so schwer ist? Ich mache nur Fachabi, sowas müssen wir auf keinen Fall können.....
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Hi,
> Ich habe das Ding jetzt mal gezeichnet... Selbst wenn ich
> nen KO-System von 100.000 auf der X-Achse nehme sehe ich
> nur eine gerade, senkrechte Linie... aber bei [mm]x^3[/mm] müsste
> es doch eigentlich eine Parabel sein, oder?
>
> Hat vielleicht einer eine Funktion die nicht ganz so schwer
> ist?
klar. Nimm $\ f(x) = [mm] x^2 [/mm] $
$\ f'(x) = 2x $
$\ f''(x) = 2 $
Jetzt zeichne dir den Graphen $\ f(x) = [mm] x^2 [/mm] $ und die Ableitung $\ f'(x)=2x $ beide in das selbe Koordinatensystem.
Dann wirst du feststellen, dass genau dort, wo die erste Ableitung $\ f' $ ihre Nullstelle hat, deine Stammfunktion $\ f $ ihren Extrempunkt hat.
Und da ihr in der Schule sicher gelernt habt, dass die Ableitung einer Funktion an der Stelle $\ [mm] x_0 [/mm] $ aussagt, welche Steigung die Tangente genau an dieser Stelle hat, bedeutet das für $\ f(x) = [mm] x^2 [/mm] $, dass die Steigung der Tangente dort 0 ist, wo $\ f $ seinen Extrempunkt hat und $\ f' $ seine Nullstelle.
Deshalb findest du mit $\ f'(x) = 0 $ auch immer die Extrema von $\ f $, sofern es welche gibt.
Jetzt finde heraus, wie viele Extrempunkte $\ f $ hat und ob es ein Minimum oder Maximum ist.
Und zeichne dir den Graphen, das hilft ungemein für's Verständnis.
Im Übrigen glaube ich schon, dass du das Ganze für's Fachabitur können musst 
Das kriegste schon hin.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Also habe jetzt mal folgendes zu [mm] f(x)=x^2 [/mm] rausgefunden:
Die Funktion ist nicht Ursprungs- aber Achsensymmetrisch.
Die 1. Ableitung f(x)=2x hat eine Nullstelle an x=0. Wie finde ich jetzt weitere Nullstellen raus? Und wie erfahre ich, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist? Also ich hab das Ding gezeichnet und weiss das es ein Tiefpunkt und der einzige Extrempunkt ist aber in der Arbeit werde ich keinen Funktionsplotter dabei haben. Also was würde ich ohne Plotter tun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Ich werd noch wahnsinnig...
Hab jetzt mal [mm] 3x^4-8x^3+6x^2 [/mm] versucht und ich schaff es nicht mal auf ne Nullstelle zu kommen.
Hab die 1. Ableitung Nullgesetzt und komme auf:
[mm] 0=12x^3-24x^2+12x
[/mm]
Und jetzt? -.-
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Hallo Chizzo,
> Ich werd noch wahnsinnig...
>
> Hab jetzt mal [mm]3x^4-8x^3+6x^2[/mm] versucht und ich schaff es
> nicht mal auf ne Nullstelle zu kommen.
>
> Hab die 1. Ableitung Nullgesetzt und komme auf:
>
> [mm]0=12x^3-24x^2+12x[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und jetzt? -.-
Wie so oft heißt das Zauberwort "ausklammern"
Klammere hier $12x$ aus ...
Denke daran, dass ein Produkt genau dann =0 ist, wenn (mindestens) einer der Faktoren =0 ist
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Dann hätte ich jetzt
[mm] 0=x(x^2-2x+12)
[/mm]
und dann wieder pq-formel, oder?
und 1 Nullstelle = 0, oder?
Edit: Ich hab jetzt raus:
N1=0
N2 und N3= Außerhalb |R
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Denny22 |
> Dann hätte ich jetzt
>
> [mm]0=x(x^2-2x+12)[/mm]
Nein, nicht ganz richtig.
> und dann wieder pq-formel, oder?
>
> und 1 Nullstelle = 0, oder?
LOESUNG:
Wir haben
[mm] $0=12x^3-24x^2+12x=12x(x^2-2x+1)=12x(x-1)^2$
[/mm]
und damit sind die Nullstellen $0$ und $1$ (da mindestens einer der Faktoren $12x$ oder [mm] $(x-1)^2$ [/mm] gleich Null sein muss, damit das Produkt dieser beiden Terme - wie gefordert - 0 ergibt.) Um das 3. Gleichheitszeichen einzusehen, musst Du die pq-Formel verwenden und solltest feststellen, dass [mm] $x^2-2x+1$ [/mm] bei $1$ eine doppelte Nullstelle besitzt.
Gruss
Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Und da wir in f' bei 0 und 1 eine Nullstelle haben (auch wenn ich das mit der Doppelten Nullstelle nicht verstehe) haben wir in f' an 0 und 1 einen Extrempunkt. In diesem Fall bei 0 einen Tiefpunkt und bei 1 einen Sattelpunkt...
Richtig? Bitte sag ja ich bin grad so voller Hoffnung :D
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Hallo
[mm] f'(x)=12x^{3}-24x^{2}+12x
[/mm]
[mm] f'(x)=12x(x^{2}-2x+1)
[/mm]
aus 12x=0 folgt [mm] x_1=0
[/mm]
aus [mm] x^{2}-2x+1=0 [/mm] folgt [mm] x_2_3=1 [/mm] rechne mal mit p-q-Formel
[mm] x_2_3=1\pm\wurzel{1-1} [/mm] die Diskriminante ist gleich Null, jetzt erkennst du sicherlich besser die doppelte Nullstelle
an der Stelle x=0 hat die Funktion ein Minimum, an der Stelle x=1 einen Sattelpunkt
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Di 16.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Ich hab jetzt die Funktion [mm] f(x)=0,5x^3+2,5x^2+1,5x-4,5 [/mm] und bin auf der Suche nach den Nullstellen... Das muss ich doch jetzt irgendwie mit Polynomdisivion machen, oder? Aber wie?
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> Ich hab jetzt die Funktion [mm]f(x)=0,5x^3+2,5x^2+1,5x-4,5[/mm] und
> bin auf der Suche nach den Nullstellen... Das muss ich doch
> jetzt irgendwie mit Polynomdisivion machen, oder? Aber wie?
In diesem Fall musst du die erste Nullstelle [mm] x_{1} [/mm] "raten" schau ob zum Beispiel x=1 oder x=-1 die Gleichung f(x) = 0 löst.. dann die Polynomdivision
[mm] (0,5x^3 [/mm] + [mm] 2,5x^2 [/mm] + 1,5x - 4,5) : (x - [mm] x_{1}) [/mm] = [mm] 0.5x^2 [/mm] + ....
durchführen und p,q-Formel anwenden...
Gruss Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 16.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Also hätte ich dann:
f(1)=0,5*1+2,5*1+1,5*1-4,5
und würde dann f(1)=0 rauskriegen und hätte dann die Nullstelle (0|1), oder?
Und wie bilde ich jetzt die Polynomdivision?
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Die Nullstelle ist [mm] x_{1} [/mm] = 1 der Punkt (1;0) ist Schnittpunkt mit der x-Achse! Kleiner aber feiner Unterschied...
Polynomdivision ist ein bisschen wie schriftlich dividieren.
[mm] 0,5x^3 [/mm] + [mm] 2,5x^2 [/mm] + 1,5x - 4,5 : (x + 1) = ?
Wir fangen vorne an: [mm] 0,5x^3 [/mm] : x = [mm] 0,5x^2 [/mm] jetzt rückwärts ausmultiplizieren:
[mm] 0,5x^2*(x+1) [/mm] = [mm] 0,5x^3 [/mm] + [mm] 0,5x^2 [/mm] das ziehen wir von unserer Ausgangsgleichung ab:
[mm] 0,5x^3 [/mm] + [mm] 2,5x^2 [/mm] - [mm] (0,5x^3 [/mm] + [mm] 0,5x^2) [/mm] = [mm] 2x^2
[/mm]
Jetzt wieder dividieren: [mm] 2x^2 [/mm] : (x+1) = 2x (du siehst man berücksichtigt bei der Division erstmal nur das x); rückwärts ausmultiplizieren ergibt: 2x*(x+1) = [mm] 2x^2 [/mm] + 2x das jetzt wieder von oben abziehen: [mm] 2x^2 [/mm] + 1,5x [mm] -(2x^2 [/mm] + 2x) = ?
Kriegst du den letzten Schritt alleine hin?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Di 16.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Ich komm dann auf ein Ergebnis von [mm] 0,5x^2+2x+0,5-4 [/mm] ... das kann aber doch nicht sein :(
Also es bleibt ein Rest von 4 -.-
Oder war das, das wir dadurch das ein Rest bleibt keine Nullstelle in der Polynomdivision finden können und ich mit der pq-Formel weiter machen muss?
Die -4 gehört ja auch nicht dahin... Das Ergebnis wäre ja quasi:
[mm] 0,5x^2+2x+0,5 [/mm] Rest -4
oder?
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jupp, das geht deshalb nicht auf, weil wir mit der falschen Nullstelle gerechnet haben! Ich hab oben hingeschrieben: Polynomdivision durch (x -! [mm] x_{1}) [/mm] mit [mm] x_{1} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] wir müssen durch (x - 1) teilen, ist mir eben gar nicht aufgefallen...![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") das Prinzip ist aber das gleiche! Wenn [mm] x_{1} [/mm] eine Nullstelle ist, geht die Polynomdivision auch auf
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Di 16.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Ah ok... wenn ichs mit -1 rechne bekomme ich [mm] 0,5x^2+3x+4,5 [/mm] und wenn ich das dann in die pq Formel einsetze dann krieg ich N2=-3 raus was nach meinem Funktionsplotter auch richtig ist :)
2 Fragen noch:
1. Der Divisor bei Polynomd. immer umkehren? Also wenn wir N1= 1 haben dann (x-1) und wenn wir N1=-1 haben dann (x+1)? Oder IMMER minus?
2. Müsste man mit der Polynomd. nicht auch ne Nullstelle ausrechnen können? Oder bringt die einen nur auf die pq-Formel?
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> Ah ok... wenn ichs mit -1 rechne bekomme ich [mm]0,5x^2+3x+4,5[/mm]
> und wenn ich das dann in die pq Formel einsetze dann krieg
> ich N2=-3 raus was nach meinem Funktionsplotter auch
> richtig ist :)
>
> 2 Fragen noch:
>
> 1. Der Divisor bei Polynomd. immer umkehren? Also wenn wir
> N1= 1 haben dann (x-1) und wenn wir N1=-1 haben dann (x+1)?
> Oder IMMER minus?
der Faktor der sich abspalten lässt ist immer (x - Nullstelle) also wenn [mm] x_{1} [/mm] = -1 dann natürlich (x+1) also Vorzeichen immer umkehren, aber NICHT immer minus
>
> 2. Müsste man mit der Polynomd. nicht auch ne Nullstelle
> ausrechnen können? Oder bringt die einen nur auf die
> pq-Formel?
Auf die pq-Formel bringts dich ja auch bloss, wenn du vorher ein Polynom 3.Ordnung hattest, hattest du vorher 4.Ordnung musst du noch mal raten...
Wie willst du denn mit der Polynomdivision eine Nullstelle ausrechnen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Di 16.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Jetzt hab ich die Nullstellen in f'(x) gesucht und habe x1=-0,333 und x2=-3 rausbekommen. Das bedeutet dann diesen Stellen liegen Extrempunkte in f(x). Wie finde ich jetzt raus, ob es ein HP, ein TP oder ein SP ist? Vom Vorzeichenwechselkriterium habe ich schon mal gehört aber wie wende ich das an?
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Steht alles schon in diesem Thread.....2.Ableitung untersuchen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 16.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Ok... Ich hab die Extremstellen von f(x) also in den Nullstellen von f'(x) gefunden. Die Extremstellen sind -0,333 und -3.
Um jetzt das Vorzeichenwechselkriterium zu erfüllen setzt ich in f'(x) Stellen ein und rechne die Steigung aus die an diesem Stellen anliegt.
Ich hab mich für folgende Stellen entschieden:
f'(-4) da kommt Steigung 5,5 raus
f'(-2) da kommt Steigung -1,5 raus
Also haben wir bei -3 einen Hochpunkt in f(x).
Dann hab ich nochmal die Stelle -2 genommen und noch die Stelle 0, bei welcher die Steigung 8 rauskommt. Hier haben wir dann einen - zu + Wechsel und damit einen Tiefpunkt in f(x).
Ist das soweit alles richtig?
Was würde ich in einer Kuvendiskussion als nächstes untersuchen?
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Hi Chizzo,
> Ok... Ich hab die Extremstellen von f(x) also in den
> Nullstellen von f'(x) gefunden. Die Extremstellen sind
> -0,333 und -3.
>
> Um jetzt das Vorzeichenwechselkriterium zu erfüllen setzt
> ich in f'(x) Stellen ein und rechne die Steigung aus die an
> diesem Stellen anliegt.
>
> Ich hab mich für folgende Stellen entschieden:
>
> f'(-4) da kommt Steigung 5,5 raus
> f'(-2) da kommt Steigung -1,5 raus
Warum die erste Ableitung und wo kommen $\ [mm] x_1 [/mm] = -4 $ und $\ [mm] x_2 [/mm] = -2 $ her?
Dir wurde doch bereits schon mehrfach gesagt, dass die Kriterien für die Extremstellen lauten:
$\ f'(x) = 0 $ notwendiges Kriterium
$\ f''(x) < 0 $ hinreichendes Kriterium für ein Maximum
$\ f''(x) > 0 $ hinreichendes Kriterium für ein Minimum
Du musst also die Nullstellen von $\ f' $ in die zweite Ableitung $\ f'' $ einsetzen.
Ich bin mir nicht sicher, bzw ich bezweifle, dass du den Zusammenhang zwischen $\ f, f', f'' $ verstanden hast.
Das ist wichtig.
>
> Also haben wir bei -3 einen Hochpunkt in f(x).
>
> Dann hab ich nochmal die Stelle -2 genommen und noch die
> Stelle 0, bei welcher die Steigung 8 rauskommt. Hier haben
> wir dann einen - zu + Wechsel und damit einen Tiefpunkt in
> f(x).
>
> Ist das soweit alles richtig?
>
> Was würde ich in einer Kuvendiskussion als nächstes
> untersuchen?
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Di 16.03.2010 | | Autor: | Chizzo |
Wir haben das mit Vorzeichenwechsel gemacht!
Ich erkenn doch da die Steigungdie an f(x) an dem jeweiligen Punkt anliegt
Ich hab ne Nullstelle in f'(x) bei -0,333 (bedeutet ich hab dort ne Extremstelle in f(x)) dann schau ich zum Beispiel wie ist die Steigung bei -1 und wie ist die Steigung bei 0. Und wenn ich da ein + zu - Wechsel hab hab ich nen Hochpunkt und bei nem - zu + Wechsel nen Tiefpunkt. Und wenn ich keinen VZ-Wechsel habe ist dort wahrscheinlich ein Sattelpunkt.
Ich erkenn doch in f'(x) wie f(x) das Steigungsverhalten von f(x).
also beispielsweise
f'(4) = 5
Dann steigt f(x) an Stelle 4 doch um 5. Oder nicht?
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Hallo,
> Wir haben das mit Vorzeichenwechsel gemacht!
>
> Ich erkenn doch da die Steigungdie an f(x) an dem
> jeweiligen Punkt anliegt
>
> Ich hab ne Nullstelle in f'(x) bei -0,333 (bedeutet ich hab
> dort ne Extremstelle in f(x)) dann schau ich zum Beispiel
> wie ist die Steigung bei -1 und wie ist die Steigung bei 0.
Du kannst nicht mit absoluter Sicherheit sagen, dass es eine Extremstelle ist nur weil die erste Ableitung dort eine Nullstelle hat. Du musst die zweite Ableitung testen, oder aber schauen, ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt.
> Und wenn ich da ein + zu - Wechsel hab hab ich nen
> Hochpunkt und bei nem - zu + Wechsel nen Tiefpunkt. Und
> wenn ich keinen VZ-Wechsel habe ist dort wahrscheinlich ein
> Sattelpunkt.
Korrekt. Jedoch hast du nicht immer einen Sattelpunkt. Nimm z.B. [mm] f(x)=x^4 [/mm] und du wirst sehen, dass die ersten drei Ableitungen alle null sind, du jedoch ttrotzdem ein Minimum bei null hast. Hier ist das das von dir beschriebene vorzeichenwechselkriterium sinnvoll. Andernfalls ist das einsetzen in die zweite Ableitung eigentlich schneller.
> Ich erkenn doch in f'(x) wie f(x) das Steigungsverhalten
> von f(x).
Ja
> also beispielsweise
>
> f'(4) = 5
>
> Dann steigt f(x) an Stelle 4 doch um 5. Oder nicht?
Korrekt.
Lg
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> Allgemein kannst du sagen, dass ein Polynom vom Grad n
> genau dann achsensymmetrisch ist, wenn es ausschließlich
> gerade Exponenten besitzt. Umgekehrt ist das Polynom nur
> dann punktsymmetrisch zu (irgendeinem Punkt) wenn alle
> Exponenten ungerade sind. Nur um sich einen Überblick zu
> verschaffen.
Hallo eXeQteR,
das stimmt so nicht. Durch diese Betrachtung werden nur
Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse und Punktsymmetrie
bezüglich des Ursprungs abgedeckt. Um auf Achsensymmetrie
bezüglich einer anderen Achse oder Punktsymmetrie bezüglich
eines anderen Zentrums zu testen, muss man anders vorgehen
(Koordinatensystem entsprechend verschieben).
Allgemein kann man aber z.B. noch folgende Aussagen machen:
1.) Der Graph jeder Polynomfunktion 2. Grades (quadratische
Funktion) ist achsensymmetrisch bezüglich der Geraden [mm] x=x_S
[/mm]
wobei [mm] x_S [/mm] die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist.
2.) Der Graph jeder Polynomfunktion 3. Grades ist punktsym-
metrisch bezüglich des Wendepunktes.
LG
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Extremstelle
