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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Kurvendiskussion

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:18 Mi 08.09.2010
Autor:	Elena..

Ich habe ein paar Fragen zur der Kurvendiskussion der Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{12} x^{4} [/mm] -  [mm] \bruch{1}{6} x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} x^{2} [/mm]

Dann sollten wir erstmal die Ableitungen bilden:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{3} x^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} x^{2} [/mm] +1x

f''(x)= x² - x

f'''(x) = 2x

Nullstellen:
f(x) = 0
0= [mm] \bruch{1}{12} x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6} x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} x^{2} [/mm]
-> ausklammern:
0=  [mm] x^{2} \* (\bruch{1}{12}x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] )

[mm] x_{1}= [/mm] 0     Wie kommt man eigentlich auf [mm] x_{1}= [/mm] 0 ? Ich dachte, dass man darauf kommt wenn man 0 für x einsetzt und dann die ganze Gleichung 0 wird?! Oder stimmt das nicht?

[mm] \bruch{1}{12}x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm]       | :12
[mm] x^{2} [/mm] - 2x + 6 = 0

-> PQ Formel
[mm] x_{2,3} [/mm] = - [mm] \bruch{-2}{2} \pm \wurzel{(\bruch{-2}{2}²) -6} [/mm]
[mm] x_{2,3} [/mm] = 1 [mm] \pm \wurzel{1-6} [/mm]
             = ERROR

Hab ich da irgendwo einen Fehler gemacht oder stimmt das so?
Liebe Grüße

Bezug

Kurvendiskussion: Korrekturen

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	17:25 Mi 08.09.2010
Autor:	Loddar

Hallo Elena!

> Dann sollten wir erstmal die Ableitungen bilden:
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{3} x^{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2} x^{2}[/mm] +1x

> f''(x)= x² - x

Was ist mit der Ableitung vom [mm]+1*x_[/mm] ?

> f'''(x) = 2x

Was ist mit der Ableitung vom [mm]-x_[/mm] ?

> Nullstellen:
>   f(x) = 0
>  0= [mm]\bruch{1}{12} x^{4}[/mm] - [mm]\bruch{1}{6} x^{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} x^{2}[/mm]
>
> -> ausklammern:
>  0=  [mm]x^{2} \* (\bruch{1}{12}x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}x[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] )

Man hätte auch gleich noch [mm]\bruch{1}{12}[/mm] ausklammern können ... nicht weiter wild.

> [mm]x_{1}=[/mm] 0     Wie kommt man eigentlich auf [mm]x_{1}=[/mm] 0 ?

Ein Produkt (aus mehreren Faktoren) ist genau dann gleich Null, wenn mind. einer der Faktoren gleich Null wird.

Das bedeutet hier:
[mm]x^2 \ = \ 0[/mm]   oder   [mm]\bruch{1}{12}x^{2} - \bruch{1}{6}x + \bruch{1}{2} \ = \ 0[/mm]

> [mm]\bruch{1}{12}x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}x[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm]       | :12

Du musst hier mit 12 multiplizieren!

>  [mm]x^{2}[/mm] - 2x + 6 = 0

> -> PQ Formel
>  [mm]x_{2,3}[/mm] = - [mm]\bruch{-2}{2} \pm \wurzel{(\bruch{-2}{2}²) -6}[/mm]

Hier fehlt unter der Wurzel noch ein Quadrat (was hier aber nichts am Ergebnis ändert).

> [mm]x_{2,3}[/mm] = 1 [mm]\pm \wurzel{1-6}[/mm]
>               = ERROR
>
>
> Hab ich da irgendwo einen Fehler gemacht oder stimmt das so?

Das stimmt so. Es gibt also keine weiteren Nullstellen neben [mm]x_1 \ = \ 0[/mm] .

Gruß
Loddar

Bezug

Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:32 Do 09.09.2010
Autor:	Elena..

Okay, danke

> f''(x)= x² - x +1
> f'''(x) = 2x -1

Dann muss ich noch die Extremstellen ausrechnen:

f´(x) = 0

f´(x) = [mm] \bruch{1}{3}x^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] +1x
[mm] \bruch{1}{3}x^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] +1x = 0
x [mm] \* [/mm] ( [mm] \bruch{1}{3} x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x +1) = 0

[mm] x_{1}= [/mm] 0

[mm] \bruch{1}{3}x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x +1) = 0 [mm] |\*3 [/mm]
[mm] x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} x^{2} [/mm] +3 = 0
[mm] x_{2,3} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}\pm \wurzel{\bruch{9}{16} -3} [/mm]
= ?

Also ist die Extremstelle bei (0|0) ?

Bezug

Kurvendiskussion: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:38 Do 09.09.2010
Autor:	schachuzipus

Hallo Elena,

> Okay, danke
>
> > f''(x)= x² - x +1

> > f'''(x) = 2x -1

>
> Dann muss ich noch die Extremstellen ausrechnen:
>
> f´(x) = 0
>
> f´(x) = [mm]\bruch{1}{3}x^{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] +1x
>  [mm]\bruch{1}{3}x^{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] +1x = 0
>  x [mm]\*[/mm] ( [mm]\bruch{1}{3} x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x +1) = 0

>
> [mm]x_{1}=[/mm] 0

>
> [mm]\bruch{1}{3}x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x +1) = 0   [mm]|\*3[/mm]
>  [mm]x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2} x^{2}[/mm] +3 = 0

Das zweite Quadrat ist keines, ich denke ein Schreibfehler...

>  [mm]x_{2,3}[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}\pm \wurzel{\bruch{9}{16} -3}[/mm]
>  = ?

Da der Radikand (der Ausdruck unter der Wurzel) negativ ist, gibt's außer [mm]x=0[/mm] keine weiteren Lösungen.

>
> Also ist die Extremstelle bei (0|0) ?

Möglicherweise.

Bleibt nachzuweisen, dass [mm]f''(0)>0[/mm] --> Minimum oder [mm]f''(0)<0[/mm] --> Maximum ist

Gruß

schachuzipus

Bezug

Kurvendiskussion: Frage (reagiert)

Status:	(Frage) reagiert/warte auf Reaktion
Datum:	10:24 So 12.09.2010
Autor:	Elena..

Danke :)

f''(x)= x² - x +1

f''(0)= 0² -0 +1
= 1 > 0 -> Tiefstelle?

Bezug

Kurvendiskussion: Richtig!

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	10:41 So 12.09.2010
Autor:	Disap

Hallo.

> f''(x)= x² - x +1
>
> f''(0)= 0² -0 +1
> = 1 > 0 -> Tiefstelle?

Genau so ist es.

Disap

Bezug

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