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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktion
[mm] \bruch{(x-1)}{\wurzel{3-2x^2}} [/mm] |
Also für den Definitionsbereich x habe ich folgendes:
[mm] \wurzel{3-2x^2}, [/mm] darf nie negativ werden und nie Null.
[mm] 0=3-2x^2
[/mm]
[mm] x=\pm \wurzel{\bruch{3}{2}}. [/mm] Das heisst [mm] D=-\wurzel{\bruch{3}{2}}
Meine Frage ist jetzt, wie kann ich den Wertebereich berechnen?
Ich habe eine von [mm] \wurzel{\bruch{3}{2}} [/mm] ganz leicht verschiedene im Definitionsbereich liegende Zahl eingefügt. Mein TR den ich für die Prüfung habe hat jedoch nur 8 Nachkomma-Zahlen.
Wie soll ich den Wertebereich genauer berechnen?
Vielen Dank für Eure Hilfe
Marco
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Hallo Marco,
> Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der
> folgenden Funktion
>
> [mm]\bruch{(x-1)}{\wurzel{3-2x^2}}[/mm]
> Also für den Definitionsbereich x habe ich folgendes:
>
> [mm]\wurzel{3-2x^2},[/mm] darf nie negativ werden und nie Null. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]0=3-2x^2[/mm]
> [mm]x=\pm \wurzel{\bruch{3}{2}}.[/mm] Das heisst
> [mm]D=-\wurzel{\bruch{3}{2}}
>
> Meine Frage ist jetzt, wie kann ich den Wertebereich
> berechnen?
> Ich habe eine von [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm] ganz leicht
> verschiedene im Definitionsbereich liegende Zahl
> eingefügt. Mein TR den ich für die Prüfung habe hat
> jedoch nur 8 Nachkomma-Zahlen.
>
> Wie soll ich den Wertebereich genauer berechnen?
Beachte, dass die Funktion auf ihrem Defbereich stetig ist und dass [mm]f(1)=0[/mm] ist und berechne mal [mm]\lim\limits_{x\uparrow\sqrt{\frac{3}{2}}}f(x)[/mm] und [mm]\lim\limits_{x\downarrow -\sqrt{\frac{3}{2}}}f(x)[/mm], also die einseitigen Grenzwerte an den Definitionsgrenzen ...
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe
>
> Marco
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mo 04.10.2010 | | Autor: | marco-san |
Hallo Schachuzipus,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich weiss nicht mal wie man den einseitigen Grenzwert auf den TI 200 berechnet geschweige denn wie mit einem nicht Grafikfähigen Taschenrechner.
Wir dürfen für solche Aufgaben nur einen TR mit normalen numerischen Operationen benutzen.
Kannst Du mir bitte weiterhelfen wie ich zum Wertebereich komme?
Danke und Gruss.
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Hallo Schachuzipus,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich weiss nicht mal wie man den einseitigen Grenzwert auf den TI 200 berechnet geschweige denn wie mit einem nicht Grafikfähigen Taschenrechner.
Wir dürfen für solche Aufgaben nur einen TR mit normalen numerischen Operationen benutzen.
Kannst Du mir bitte weiterhelfen wie ich zum Wertebereich komme?
Danke und Gruss.
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Hallo marco-san,
der Taschenrechner berechnet Dir keinen Grenzwert, das musst Du selbst tun.
Hattet Ihr denn das Thema Grenzwerte schon?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Mo 04.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal!
Es gilt hier als ausnehmend unfreundlich, eine beantwortete Frage einfach wieder auf "unbeantwortet" zu stellen!
Stelle lieber eine neue Frage und lass die alte, wie sie ist. Oder schreib eine Mitteilung, warum die Frage für Dich noch nicht beantwortet ist, und erkläre möglichst genau, welcher Teil der Frage für dich noch offen ist.
Wenn nötig, wird die Frage dann manuell von einem Moderator wieder geöffnet. Das ist aber nur sehr sehr selten nötig.
Grüße
reverend
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Also das Prinzip kenne ich.
Ich setze in die Funktion wie schon in meiner Erklärung beschrieben einen von [mm] \wurzel{1.5} [/mm] verschiedenen Wert ein.
1.22474487139=Definitionslücke
1.22474487138=rechter Grenzwert.
Das Gleiche mache ich links einfach im negativen Bereich.
Ich bekomme 355352,... auf meinem TR raus.
Ist der Ansatz richtig? Der Wert des Werteberiches stimmt nämlich nicht.
Ich weiss wirklich nicht mehr weiter!
Danke für eure Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Mo 04.10.2010 | | Autor: | marco-san |
Sali Loddar,
ich meine wenn ich den Wert
1.22474487138 in die Funktion einsetze erhalte ich den besagten Wert.
Ich kann auch -1.22474487138 einsetzen. Dieser Wert ist ja seeeehr nahe bei [mm] \wurzel{1,5}.
[/mm]
Ist das so korrekt?
Ich weiss nicht wie ich rechnerisch auf den Wertebereich komme...
Bitte um Hilfe.
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Also wenn ich den Grenzwert im Zähler betrachte habe ich bei
1.22474487139 den Grenzwert 0.224744...
bei -1.22474487139 den Grenzwert -2.224744
Betrachte ich den Nenner so habe ich für den Grenzwert
1.22474487139 den Wert 0
und für -1.22474487139 auch den Wert 0.
Ich weiss nicht was ich falsch mache.
Hier kann glaube ich kein Wertebereich konkret mit dem Taschenrechner berechnet werden...
Hat jemand einen Tipp oder weiss echt niemand wie das geht???
Gruss
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Hallo nochmal,
> Also wenn ich den Grenzwert im Zähler betrachte habe ich
> bei
>
> 1.22474487139 den Grenzwert 0.224744...
> bei -1.22474487139 den Grenzwert -2.224744
>
> Betrachte ich den Nenner so habe ich für den Grenzwert
> 1.22474487139 den Wert 0
> und für -1.22474487139 auch den Wert 0.
>
> Ich weiss nicht was ich falsch mache.
>
> Hier kann glaube ich kein Wertebereich konkret mit dem
> Taschenrechner berechnet werden...
Stimmt genau. Du triffst den Nagel auf den Punkt, es geht nicht mit dem Taschenrechner.
> Hat jemand einen Tipp oder weiss echt niemand wie das
> geht???
Doch, doch, das wissen hier wahrscheinlich die meisten.
Du hast die Frage aber bisher nicht beantwortet, ob ihr das Thema "Grenzwerte" nun hattet oder nicht.
Die Lösung wird lauten, dass ganz [mm] \IR [/mm] der Wertebereich der Funktion ist. Um das zu ermitteln, musst Du aber leider den Taschenrechner mal ausschalten, wegwerfen, die Batterien rausnehmen oder ihn ganz zerstören. Vielleicht reicht es auch, ihn mal beiseite zu legen.
> Gruss
lg
reverend
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Der Voyage 200 würde die Grenzwerte (auch die einseitigen)
schon auch liefern - aber ich bin ganz klar der Meinung, dass
man solche Aufgaben auch ohne rechnerische Hilfsmittel lösen
können muss !
LG
Al-Chw.
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Vielen Dank für die schnellen Antworten.
Ich verstehe nicht ganz aus was Ihr schliesst, dass der Wertebereich den die Funktion annehmen für [mm] \IR [/mm] definiert ist.
Das Thema Grenzwerte hatten wir. Ich verstehe die normalen Aufgaben auch problemlos. Der Wertebereich meint ja, welche Werte y annehmen kann?
wenn ich für x in der Funktion sehr grosse Werte eingebe kommt "keine reelle Zahl" raus.
Wenn ich jedoch sehr klene Werte eigebe kommt -0.577 raus.
Mache ich einen Denkfehler?
Wenn doch im Nenner x die [mm] \wurzel{1.5} [/mm] übersteigt, dann wird die Zahl negativ und es gibt keine reelle Zahl?
Also kann [mm] \IR [/mm] nicht in Frage kommen oder?
Ich meine, man kann sich schon an die [mm] \wurzel{1.5} [/mm] annähern um den Wertebereich abzuschätzen. Nur ist die [mm] \wurzel{1.5} [/mm] auch endlich. Also muss es eine endlich grossen Wertebereich geben.
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Hallo nochmal,
dieser Teil der Aufgabe ist viel schneller im Kopf zu lösen, als Du brauchst, um Deinen langen Dezimalbruch einzugeben.
> Ich verstehe nicht ganz aus was Ihr schliesst, dass der
> Wertebereich den die Funktion annehmen für [mm]\IR[/mm] definiert
> ist.
Na dann. Du bringst hier schon zwei Sachen durcheinander. Definiert ist die Funktion innerhalb ihres Definitionsbereichs, und den hattest Du doch schon richtig bestimmt: [mm] \mathbb{D}=\{x|-\bruch{1}{2}\wurzel{6}
Ich habe allerdings den Zahlenwert so umgeschrieben, dass im Nenner keine Wurzel mehr steht.
> Das Thema Grenzwerte hatten wir. Ich verstehe die normalen
> Aufgaben auch problemlos. Der Wertebereich meint ja, welche
> Werte y annehmen kann?
Genau. Hierzu sind ein paar Vorüberlegungen nötig. Es gibt innerhalb des Definitionsbereichs keine Definitionslücke und damit auch keinen Pol "mittendrin". Die Funktion ist außerdem stetig, macht also keine Sprünge.
> wenn ich für x in der Funktion sehr grosse Werte eingebe
> kommt "keine reelle Zahl" raus.
Wenn Du sehr große Werte von x eingibst, liegt x nicht mehr im Definitionsbereich.
> Wenn ich jedoch sehr klene Werte eigebe kommt -0.577 raus.
Ach ja? Für sehr kleine Werte von x (also z.B. -100000) liegt x wieder nicht im Definitionsbereich. Schon -2 tut das nicht.
Du meinst wahrscheinlich einfach den Funktionwert in der Umgebung von x=0. Der ist hier aber nicht interessant und wird es, wie die weitere Überlegung zeigt, auch später nicht.
> Mache ich einen Denkfehler?
Ja, offensichlich.
> Wenn doch im Nenner x die [mm]\wurzel{1.5}[/mm] übersteigt, dann
> wird die Zahl negativ und es gibt keine reelle Zahl?
Eben. Der Wertebereich gibt doch nur an, welche y-Werte Du erhältst, wenn x sich innerhalb des Definitionsbereichs bewegt!
> Also kann [mm]\IR[/mm] nicht in Frage kommen oder?
Doch.
> Ich meine, man kann sich schon an die [mm]\wurzel{1.5}[/mm]
> annähern um den Wertebereich abzuschätzen. Nur ist die
> [mm]\wurzel{1.5}[/mm] auch endlich. Also muss es eine endlich
> grossen Wertebereich geben.
Quatsch.
Wenn Du die Funktion y=1/x hast, dann erreicht die für unendlich große x nur sehr kleine, endliche Werte. Nur in der Umgebung der Null ist das anders, da erreicht sie beliebig große oder beliebig kleine Werte, je nachdem, von wo man sich nähert. Dabei ist die Null selbst ja endlich.
Ähnlich bei Deiner Funktion.
Wenn Du x gegen die untere Grenze des Definitionsbereichs laufen lässt, nähert sich der Zähler einer festen Zahl, die negativ ist. Der Nenner dagegen läuft beliebig nahe an die Null heran. Da x ja die Grenze gar nicht erreichen darf (weil die ja nicht zum Def.bereich gehört), wird im Nenner auch nie die Null wirklich erreicht, aber man kann eben so nahe heran, wie man will.
Was heißt das für den Bruch, wenn man ihn als ganzes betrachtet, und was damit auch für den Funktionswert? Zähler negativ und endlich, Nenner geht gegen Null, also...
An der oberen Grenze ist das ähnlich. Der Zähler ist positiv und endlich, der Nenner geht gegen Null, also...
Und da die Funktion stetig ist, weißt Du, dass auch alle Werte zwischen diesen beiden Funktions"werten" am Rand erreicht werden.
Die letzten paar Zeilen sind die Überlegung, die ich oben meinte. Das geht wirklich in höchstens einigen Sekunden, eher weniger.
Übrigens könnte, je nach Funktion, doch noch interessant werden, welchen Funktionswert die Funktion z.B. bei x=0 hat. Dazu müsste man aber erst einmal herausfinden, ob x=0 die interessante Stelle ist. Das ist dann der Fall, wenn sich an den Rändern (und Polen) immer die gleiche Richtung von Unendlichkeit zeigt. Wenn du in Deiner Funktion den Zähler quadrierst, hättest du genau dieses Problem. Dann müsste man noch schauen, was eigentlich der niedrigste Funktionswert ist, und dazu müsste das Minimum der Funktion bestimmt werden.
Diese manchmal mühsame Arbeit kannst Du Dir hier aber sparen.
Der Wertebereich ist [mm] \IW=\{f(x)|-\infty
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:00 Di 05.10.2010 | | Autor: | marco-san |
Hallo reverend,
wow!
Vielen Dank. Jetzt weiss ich wo ich angestanden bin. Ich dachte,
dass [mm] \wurzel{1.5} [/mm] nur endlich viele Nachkommastellen hat und darum die Annäherung an Null nur bis zu einem bestimmten Punkt geht.
Die Erklärung mit der Stetigkeit ist mir aber einleuchtend.
Vielen Dank. So eine super Hilfe habe ich selten bekommen.
Ich frage mich manchmal echt ob ich der Einzige mit solchen Problemen bin... :-(
Grüsse
Marco
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> Ähnlich bei Deiner Funktion.
> Wenn Du x gegen die untere Grenze des Definitionsbereichs
> laufen lässt, nähert sich der Zähler einer festen Zahl,
> die negativ ist. Der Nenner dagegen läuft beliebig nahe an
> die Null heran. Da x ja die Grenze gar nicht erreichen darf
> (weil die ja nicht zum Def.bereich gehört), wird im Nenner
> auch nie die Null wirklich erreicht, aber man kann eben so
> nahe heran, wie man will.
> Was heißt das für den Bruch, wenn man ihn als ganzes
> betrachtet, und was damit auch für den Funktionswert?
> Zähler negativ und endlich, Nenner geht gegen Null,
> also... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> An der oberen Grenze ist das ähnlich. Der Zähler ist
> positiv und endlich, der Nenner geht gegen Null, also...
Vorsicht: bei diesen Überlegungen muss man sich schon
auch noch klar machen, wie es mit dem Vorzeichen des
Nenners steht !
Im vorliegenden Beispiel ist der Nenner als Quadratwurzel
natürlich schon definitionsgemäß nicht-negativ, innerhalb
des Definitionsbereiches positiv. Dies sollte aber für eine
vollständige Überlegung wenigstens erwähnt werden.
Liebe Grüße und einen schönen Tag !
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:37 Di 05.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
danke für den berechtigten Hinweis. Das hätte ich natürlich erwähnen müssen.
Grüße
reverend
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Hallo,
vielleicht erkennst du das "Prinzip" bei einer einfacheren Funktion besser:
Was ergibt
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 3}\frac{1}{x-3}$$?
[/mm]
Gruß Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Mo 04.10.2010 | | Autor: | marco-san |
Hallo,
bei diesem Beispiel gibt es keinen Grezwert resp. er ist nicht definiert da
der Nenner nie Null werden darf.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Mo 04.10.2010 | | Autor: | deadlift |
Vielleicht solltest du dich erst einmal in die Grundlagen einer Kurvendiskussion einarbeiten. Würdest du diese beherrschen, dann würdest du auch die Ermittlung der Grenzwerte verstehen. Aber OHNE Taschenrechner. Denn der ist in der Regel nur so schlau wie sein Anwender.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das ist nicht der Grenzwert.
