Kurvendiskussion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Sa 20.04.2013 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Folgende Funktion soll diskutiert werden:
f(x)= [mm] x*\wurzel{|\bruch{1-x}{1+x}|}
[/mm]
Es ist die Defintionmenge, Differenzierbarkeit, Nullstellen, Extrema, Monotonieverhalten, Asymptoten) gesucht.
Das Beispiel hatten wir gestern bei einer Klausur. Nur zur info es war kein TR erlaubt.
Die Nullstellen, Ableitungen, Asymptoten waren kein Problem.
Allerdings frage ich mich schon, wie man ohne TR auf die Extremstellen hätte kommen sollen(http://funktion.onlinemathe.de/?val=x*sqrt%28|%281-x%29%2F%281%2Bx%29|%29+) sollen? Gibts da einen schmäh bei so einem beispiel? Weiters war es natürlich so auch doof, weil ich die monotonier so auch nicht ermitteln konnte...
Weiters kann mir jemand erklären wie man hier die Differenzierbarkeit festellt?
Und nur so findet ihr das Bsp. für eine VORLESUNGS- klausur in Analysis in Ordnung?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Sa 20.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
die fkt ist Komposition von 2 differenzierbaren fkt, bis auf die nicht definierten Stellen x=-1 und die Stelle x=1 muss einzeln unersucht werden, wegen des Betrags.
dann betrachtet man die fkt für
[mm] \bruch{1-x}{1+x}0 [/mm] und [mm] |\bruch{1-x}{1+x}<0 [/mm] getrennt,
also -1<x<1 und den Rest getrennt.
wenn du die monotonie in den 3 Gebieten hast erübrigt es sich Extrema zu suchen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Sa 20.04.2013 | | Autor: | nero08 |
> Hallo
> die fkt ist Komposition von 2 differenzierbaren fkt, bis
> auf die nicht definierten Stellen x=-1 und die Stelle
> x=1 muss einzeln unersucht werden, wegen des Betrags.
okay -1 ist nicht defeniert, dass ist klar. und bei x=1 lasse ich einfach den limes von rechts und links laufen oder?
ganz versteh du ich deine antwort aber nicht fehlt da dazw. was?
> dann betrachtet man die fkt für
> [mm]\bruch{1-x}{1+x}0[/mm] und [mm]|\bruch{1-x}{1+x}<0[/mm] getrennt,
> also -1<x<1 und den Rest getrennt.
> wenn du die monotonie in den 3 Gebieten hast erübrigt es
> sich Extrema zu suchen.
wieso? versteh nicht ganz was ich da machen soll...
> Gruss leduart
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Sa 20.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wegen der Betragstriche hast du eigntlich 2 funktionen, bzw 3 funktionsäste. eine von -1<x<1 und einen von [mm] -\infty [/mm] bis -1 und von 1 bis infty. .
übrigends für die Monotoniebetrachtung kannst du die Wurzel weglassen da diese das monotonieverhalten in den einzelnen Zweigen nicht ändert.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Sa 20.04.2013 | | Autor: | nero08 |
hi!
mir ist noch immer nicht ganz klar, wie ich das mit der monotonie machen soll. dazu brauche ich ja die 1. Ableitung was ja nicht so ein problem ist. aber wie gehe ich hier dann weiter vor? du meintest ja aich brauche die extrema gar nicht. nur weiß ich dann doch nicht wo sich das monotonieverhalten ändert?
was die diffbarkeit angeht:
x=1:
[mm] \limes_{x\rightarrow\1^{+}} x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|) [/mm] = 1 + i/sqrt(2)
[mm] \limes_{x\rightarrow\1^{-}} x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|) [/mm] = 1 + 1/sqrt(2)
gehts das so?
wie ermittle ich weitere kritischepunkte?
lg
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Hallo,
Zu deiner Ausgangsfrage: Wir können nicht so gut beurteilen, ob die Aufgabe angemessen für eine Analysis 1 Klausur ist.
Das hängt daran, dass jeder Prof. andere Schwerpunkt setzt und auch die Übungsaufgaben eine maßgebliche Rolle darin spielen, was für Aufgaben in der Klausur angemessen sind.
Wenn ihr in Analysis 1 noch nie eine Kurvendiskussion mit nicht differenzierbaren Funktionen gemacht haben solltet, ist es vielleicht eine etwas schwerere Aufgabe und nicht so toll für eine Klausur.
> mir ist noch immer nicht ganz klar, wie ich das mit der
> monotonie machen soll.
Der Punkt ist folgender: Die Funktion (siehe Plot) hat gerade an den Stellen, wo sie nicht differenzierbar ist, evtl. Extremstellen.
Dort können die üblichen Kriterien für Extremstellen nicht benutzt werden.
Wenn du aber zeigst, dass die Funktion links und rechts von einer Stelle [mm] x_0 [/mm] "nach unten geht" (d.h. für x < [mm] x_0 [/mm] monoton wächst und für x > [mm] x_0 [/mm] monoton fällt), dann muss an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ein lokales Maximum vorliegen.
Da die Funktion ja nur an zwei Stellen evtl. differenzierbar ist, kannst du die Monotonie mit der ersten Ableitung überall dort, wo die Funktion differenzierbar ist, nachweisen.
Die Funktion ist offensichtlich bei x = -1 gar nicht definiert, und der Betrag / die Wurzel sorgt dafür, dass bei x = 1 die Differenzierbarkeit unklar ist.
Für alle anderen Stellen ist die Funktion jedoch diffbar (als Komposition diffbarer Funktionen) und die Ableitung kann auch berechnet werden. Anhand dieser kannst du die Monotonie nachprüfen. Du schriebst in deinem Ausgangspost, dass die Ableitungen kein Problem waren. Dann schreib sie doch mal hier auf.
> was die diffbarkeit angeht:
>
> x=1:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1^{+}} x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|)[/mm] = 1
> + i/sqrt(2)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1^{-}} x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|)[/mm] = 1
> + 1/sqrt(2)
>
> gehts das so?
Was hast du hier ausgerechnet???
Wieso kommen da komplexe Zahlen raus?
Für die Diffbarkeit in x = 1 ist zu prüfen, ob der Limes
[mm] $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$
[/mm]
existiert.
> wie ermittle ich weitere kritischepunkte?
Was meinst du damit? Wo die Funktion nicht diffbar ist? Nur bei x = 1 stellt sich diese Frage.
Oder meinst du Extremstellen? Es gilt:
f' diffbar, [mm] $x_0$ [/mm] Extremstelle [mm] $\Rightarrow$ $f'(x_0) [/mm] = 0$ .
D.h. durch Nullsetzen der 1. Ableitung erhältst du alle möglichen Extremstellen außer eine evtl. Extremstelle bei [mm] x_0 [/mm] = 1.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Sa 20.04.2013 | | Autor: | nero08 |
> Hallo,
HI
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> Zu deiner Ausgangsfrage: Wir können nicht so gut
> beurteilen, ob die Aufgabe angemessen für eine Analysis 1
> Klausur ist.
> Das hängt daran, dass jeder Prof. andere Schwerpunkt
> setzt und auch die Übungsaufgaben eine maßgebliche Rolle
> darin spielen, was für Aufgaben in der Klausur angemessen
> sind.
>
> Wenn ihr in Analysis 1 noch nie eine Kurvendiskussion mit
> nicht differenzierbaren Funktionen gemacht haben solltet,
> ist es vielleicht eine etwas schwerere Aufgabe und nicht so
> toll für eine Klausur.
Ja haben leider nicht, deshalb wusste ich auch nicht, dass es z.B. beim Betrag eine innere ableitung gibt. Du hast es aber eh schon sehr politisch formuliert ;)
>
>
> > mir ist noch immer nicht ganz klar, wie ich das mit der
> > monotonie machen soll.
>
> Der Punkt ist folgender: Die Funktion (siehe Plot) hat
> gerade an den Stellen, wo sie nicht differenzierbar ist,
> evtl. Extremstellen.
> Dort können die üblichen Kriterien für Extremstellen
> nicht benutzt werden.
> Wenn du aber zeigst, dass die Funktion links und rechts
> von einer Stelle [mm]x_0[/mm] "nach unten geht" (d.h. für x < [mm]x_0[/mm]
> monoton wächst und für x > [mm]x_0[/mm] monoton fällt), dann muss
> an der Stelle [mm]x_0[/mm] ein lokales Maximum vorliegen.
>
> Da die Funktion ja nur an zwei Stellen evtl.
> differenzierbar ist, kannst du die Monotonie mit der ersten
> Ableitung überall dort, wo die Funktion differenzierbar
> ist, nachweisen.
>
> Die Funktion ist offensichtlich bei x = -1 gar nicht
> definiert, und der Betrag / die Wurzel sorgt dafür, dass
> bei x = 1 die Differenzierbarkeit unklar ist.
> Für alle anderen Stellen ist die Funktion jedoch diffbar
> (als Komposition diffbarer Funktionen) und die Ableitung
> kann auch berechnet werden. Anhand dieser kannst du die
> Monotonie nachprüfen. Du schriebst in deinem Ausgangspost,
> dass die Ableitungen kein Problem waren. Dann schreib sie
> doch mal hier auf.
f'(x) = [mm] \wurzel{|\bruch{1-x}{1+x}|} [/mm] + [mm] \bruch{x *|\bruch{1-x}{1+x}| }{(x+1)^{2} *\wurzel{|\bruch{1-x}{1+x}|}}
[/mm]
Gut nun kann hier nat. werte einsetzen und so schaun ob f'(x) >0 bzw <0 ist. Aber wie schon gesagt diesen plot bei einer Klausur zeichnen ist alles andere als leicht....
>
>
>
> > was die diffbarkeit angeht:
> >
> > x=1:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\1^{+}} x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|)[/mm] = 1
> > + i/sqrt(2)
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\1^{-}} x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|)[/mm] = 1
> > + 1/sqrt(2)
> >
> > gehts das so?
>
> Was hast du hier ausgerechnet???
> Wieso kommen da komplexe Zahlen raus?
ups, da is was schief gegangen...
ich kenne es so:
[mm] \limes_{x\rightarrow\1 \bruch{f(x) - f(1)}{x - 1}} =\bruch{x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|)}{x-1} [/mm] = ....
jetzt hänge ich leider, macht x-1 nicht probleme, weil ich hier so dann durch 0 div.?
>
> Für die Diffbarkeit in x = 1 ist zu prüfen, ob der Limes
>
> [mm]\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h) - f(1)}{h}[/mm]
>
> existiert.
>
>
>
>
> > wie ermittle ich weitere kritischepunkte?
>
> Was meinst du damit? Wo die Funktion nicht diffbar ist?
genau!
Nur
> bei x = 1 stellt sich diese Frage.
> Oder meinst du Extremstellen? Es gilt:
>
> f' diffbar, [mm]x_0[/mm] Extremstelle [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f'(x_0) = 0[/mm] .
>
> D.h. durch Nullsetzen der 1. Ableitung erhältst du alle
> möglichen Extremstellen außer eine evtl. Extremstelle bei
> [mm]x_0[/mm] = 1.
ja das ist in dem fall eben auch nicht so leicht... wie bestimme ich bei der ableitung oben geschickt die Nullstellen?
lg
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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Hallo,
> > Wenn ihr in Analysis 1 noch nie eine Kurvendiskussion mit
> > nicht differenzierbaren Funktionen gemacht haben solltet,
> > ist es vielleicht eine etwas schwerere Aufgabe und nicht so
> > toll für eine Klausur.
>
> Ja haben leider nicht, deshalb wusste ich auch nicht, dass
> es z.B. beim Betrag eine innere ableitung gibt. Du hast es
> aber eh schon sehr politisch formuliert ;)
Naja, bin ja auch Übungsleiter 
Du schriebst in deinem Ausgangspost,
> > dass die Ableitungen kein Problem waren. Dann schreib sie
> > doch mal hier auf.
> f'(x) = [mm]\wurzel{|\bruch{1-x}{1+x}|}[/mm] + [mm]\bruch{x *|\bruch{1-x}{1+x}| }{(x+1)^{2} *\wurzel{|\bruch{1-x}{1+x}|}}[/mm]
Ich glaube, im zweiten Summanden fehlt noch ein Faktor. Die Ableitung vom Betrag lautet ja $|x|' = x/|x|$ bzw. $|x|' = |x|/x$. Bei dir finde ich diesen Quotienten nicht.
Evtl. ist es leichter für Ableiten + Nullstellenfinden, wenn du eine Fallunterscheidung durchführst. Dann ist der Betrag weg und alles ist viel bekannter.
Es ist [mm] $\frac{1-x}{1+x} [/mm] > 0 [mm] \gdw [/mm] -1 < x < 1$. (*) Betrachten wir erstmal nur diesen Fall. Dann gilt
$f(x) = [mm] x\cdot \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$.
[/mm]
$f'(x) = [mm] \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} [/mm] + [mm] x \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot \frac{-2}{(x+1)^2} [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} [/mm] - [mm] \frac{x}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}$.
[/mm]
Nullsetzen:
$0 = f'(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}\cdot \Big((1-x)*(1+x) [/mm] - [mm] x\Big)
[/mm]
Kannst du die Lösungen bestimmen? Wie du siehst, ist für das Vorzeichen außerdem nur der hinterste Faktor relevant, weil alles vorher positiv ist.
> ups, da is was schief gegangen...
> ich kenne es so:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1} \bruch{f(x) - f(1)}{x - 1} =\bruch{x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|)}{x-1}[/mm]
> = ....
>
> jetzt hänge ich leider, macht x-1 nicht probleme, weil ich
> hier so dann durch 0 div.?
Du teilst nicht durch 0, weil das ja nur im Limes x -> 1 passiert.
Du musst nun überlegen, was mit obigem Term
[mm] $\bruch{x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|)}{x-1}$
[/mm]
für x -> 1 insgesamt geschieht. Dein weiteres Vorgehen muss von einem Verdacht ausgehen. Hier lautet der Verdacht: Die Funktion ist nicht differenzierbar. D.h. du schaust dir den Term jetzt einmal für x->1, x < 1 und einmal für x -> 1, x > 1 an. In beiden Fällen kannst du den Betrag auflösen (siehe (*)) und den Grenzwert durch kürzen bestimmen.
Es sollte einmal +unendlich, einmal -unendlich rauskommen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Sa 20.04.2013 | | Autor: | nero08 |
> Hallo,
>
>
> > > Wenn ihr in Analysis 1 noch nie eine Kurvendiskussion mit
> > > nicht differenzierbaren Funktionen gemacht haben solltet,
> > > ist es vielleicht eine etwas schwerere Aufgabe und nicht so
> > > toll für eine Klausur.
> >
> > Ja haben leider nicht, deshalb wusste ich auch nicht, dass
> > es z.B. beim Betrag eine innere ableitung gibt. Du hast es
> > aber eh schon sehr politisch formuliert ;)
>
>
> Naja, bin ja auch Übungsleiter
>
so ist das :)
>
>
> Du schriebst in deinem Ausgangspost,
> > > dass die Ableitungen kein Problem waren. Dann schreib sie
> > > doch mal hier auf.
> > f'(x) = [mm]\wurzel{|\bruch{1-x}{1+x}|}[/mm] - [mm]\bruch{x *|\bruch{1-x}{1+x}| }{(x+1)^{2} *\wurzel{|\bruch{1-x}{1+x}|}}[/mm]
>
>
> Ich glaube, im zweiten Summanden fehlt noch ein Faktor.
okay das - hat noch gefehlt....
Die
> Ableitung vom Betrag lautet ja [mm]|x|' = x/|x|[/mm] bzw. [mm]|x|' = |x|/x[/mm].
> Bei dir finde ich diesen Quotienten nicht.
oder muss ich durch den betrag noch dividieren? bzw. wann neheme ich was? wo ist bei dir unten der betrag bzw der Bruch ohne Betragsstriche hin?
>
>
> Evtl. ist es leichter für Ableiten + Nullstellenfinden,
> wenn du eine Fallunterscheidung durchführst. Dann ist der
> Betrag weg und alles ist viel bekannter.
> Es ist [mm]\frac{1-x}{1+x} > 0 \gdw -1 < x < 1[/mm]. (*) Betrachten
> wir erstmal nur diesen Fall. Dann gilt
>
>
> [mm]f(x) = x\cdot \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}[/mm].
>
> [mm]f'(x) = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot \frac{-2}{(x+1)^2} = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} - \frac{x}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}[/mm].
>
> Nullsetzen:
>
> $0 = f'(x) = [mm]\frac{1}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}\cdot \Big((1-x)*(1+x)[/mm]
> - [mm]x\Big)[/mm]
>
>
> Kannst du die Lösungen bestimmen? Wie du siehst, ist für
> das Vorzeichen außerdem nur der hinterste Faktor relevant,
> weil alles vorher positiv ist.
naja [mm] -x^2 [/mm] - x +1=0 setzen
also
x1= 1/2*(-1-sqrt(5))
x2= 1/2*(-1+sqrt(5))
>
>
>
>
>
>
> > ups, da is was schief gegangen...
> > ich kenne es so:
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\1} \bruch{f(x) - f(1)}{x - 1} =\bruch{x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|)}{x-1}[/mm]
> > = ....
> >
> > jetzt hänge ich leider, macht x-1 nicht probleme, weil ich
> > hier so dann durch 0 div.?
>
> Du teilst nicht durch 0, weil das ja nur im Limes x -> 1
> passiert.
>
> Du musst nun überlegen, was mit obigem Term
>
> [mm]\bruch{x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|)}{x-1}[/mm]
>
> für x -> 1 insgesamt geschieht. Dein weiteres Vorgehen
> muss von einem Verdacht ausgehen. Hier lautet der Verdacht:
> Die Funktion ist nicht differenzierbar. D.h. du schaust dir
> den Term jetzt einmal für x->1, x < 1 und einmal für x ->
> 1, x > 1 an. In beiden Fällen kannst du den Betrag
> auflösen (siehe (*)) und den Grenzwert durch kürzen
> bestimmen.
okay, aber im anderen fall habe ich ja einen negativen bruch, also auch eine negative wurzel?
>
> Es sollte einmal +unendlich, einmal -unendlich rauskommen.
>
> Viele Grüße,
> Stefan
lg
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Hallo,
> > Naja, bin ja auch Übungsleiter
> >
>
> so ist das :)
Jaja...
> > Du schriebst in deinem Ausgangspost,
> > > > dass die Ableitungen kein Problem waren. Dann schreib sie
> > > > doch mal hier auf.
> > > f'(x) = [mm]\wurzel{|\bruch{1-x}{1+x}|}[/mm] - [mm]\bruch{x *|\bruch{1-x}{1+x}| }{(x+1)^{2} *\wurzel{|\bruch{1-x}{1+x}|}}[/mm]
>
> >
> >
> > Ich glaube, im zweiten Summanden fehlt noch ein Faktor.
> okay das - hat noch gefehlt....
> Die
> > Ableitung vom Betrag lautet ja [mm]|x|' = x/|x|[/mm] bzw. [mm]|x|' = |x|/x[/mm].
> > Bei dir finde ich diesen Quotienten nicht.
> oder muss ich durch den betrag noch dividieren? bzw. wann
> neheme ich was?
Was meinst du? "Wann nehme ich was"? Beide Formeln [mm]|x|' = x/|x|[/mm] bzw. [mm]|x|' = |x|/x[/mm] gelten.
> wo ist bei dir unten der betrag bzw der
> Bruch ohne Betragsstriche hin?
Ich habe keinen Betrag mehr, weil ich nur den Fall betrachte, wo der Betrag unnötig ist (also wo der Term im Betrag positiv ist).
> > Evtl. ist es leichter für Ableiten + Nullstellenfinden,
> > wenn du eine Fallunterscheidung durchführst. Dann ist der
> > Betrag weg und alles ist viel bekannter.
> > Es ist [mm]\frac{1-x}{1+x} > 0 \gdw -1 < x < 1[/mm]. (*)
> Betrachten
> > wir erstmal nur diesen Fall. Dann gilt
> >
> >
> > [mm]f(x) = x\cdot \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}[/mm].
> >
> > [mm]f'(x) = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot \frac{-2}{(x+1)^2} = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} - \frac{x}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}[/mm].
>
> >
> > Nullsetzen:
> >
> > $0 = f'(x) = [mm]\frac{1}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}\cdot \Big((1-x)*(1+x)[/mm]
> > - [mm]x\Big)[/mm]
> >
> >
> > Kannst du die Lösungen bestimmen? Wie du siehst, ist für
> > das Vorzeichen außerdem nur der hinterste Faktor relevant,
> > weil alles vorher positiv ist.
>
> naja [mm]-x^2[/mm] - x +1=0 setzen
>
> also
>
> x1= 1/2*(-1-sqrt(5))
> x2= 1/2*(-1+sqrt(5))
Ja. und eine Lösung liegt tatsächlich im Bereich $(-1,1)$, den wir gerade untersuchen. Damit hast du eine Extremstelle.
> > > ups, da is was schief gegangen...
> > > ich kenne es so:
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\1} \bruch{f(x) - f(1)}{x - 1} =\bruch{x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|)}{x-1}[/mm]
> > > = ....
> > >
> > > jetzt hänge ich leider, macht x-1 nicht probleme, weil ich
> > > hier so dann durch 0 div.?
> >
> > Du teilst nicht durch 0, weil das ja nur im Limes x -> 1
> > passiert.
> >
> > Du musst nun überlegen, was mit obigem Term
> >
> > [mm]\bruch{x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|)}{x-1}[/mm]
> >
> > für x -> 1 insgesamt geschieht. Dein weiteres Vorgehen
> > muss von einem Verdacht ausgehen. Hier lautet der Verdacht:
> > Die Funktion ist nicht differenzierbar. D.h. du schaust dir
> > den Term jetzt einmal für x->1, x < 1 und einmal für x ->
> > 1, x > 1 an. In beiden Fällen kannst du den Betrag
> > auflösen (siehe (*)) und den Grenzwert durch kürzen
> > bestimmen.
>
> okay, aber im anderen fall habe ich ja einen negativen
> bruch, also auch eine negative wurzel?
Nein. Der Bruch ist negativ, aber der Betrag macht es ja positiv. In der Wurzel steht immer was positives.
Fall x > 1, x-> 1:
[mm] \bruch{x*\sqrt{|\bruch{1-x}{1+x}|}}{x-1} [/mm] = [mm] \bruch{x*\sqrt{-\bruch{1-x}{1+x}}}{x-1} [/mm] = [mm] x*\sqrt{\bruch{1}{(1+x)*(x-1)}} \to \infty.
[/mm]
Fall x < 1, x-> 1:
[mm] \bruch{x*\sqrt{|\bruch{1-x}{1+x}|}}{x-1} [/mm] = [mm] -\bruch{x*\sqrt{\bruch{1-x}{1+x}}}{1-x} [/mm] = [mm] -x*\sqrt{\bruch{1}{(1+x)*(1-x)}} \to -\infty.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 So 21.04.2013 | | Autor: | nero08 |
> Hallo,
>
>
> > > Naja, bin ja auch Übungsleiter
> > >
> >
> > so ist das :)
>
> Jaja...
>
>
> > > Du schriebst in deinem Ausgangspost,
> > > > > dass die Ableitungen kein Problem waren. Dann schreib sie
> > > > > doch mal hier auf.
> > > > f'(x) = [mm]\wurzel{|\bruch{1-x}{1+x}|}[/mm] - [mm]\bruch{x *|\bruch{1-x}{1+x}| }{(x+1)^{2} *\wurzel{|\bruch{1-x}{1+x}|}}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Ich glaube, im zweiten Summanden fehlt noch ein Faktor.
> > okay das - hat noch gefehlt....
> > Die
> > > Ableitung vom Betrag lautet ja [mm]|x|' = x/|x|[/mm] bzw. [mm]|x|' = |x|/x[/mm].
> > > Bei dir finde ich diesen Quotienten nicht.
> > oder muss ich durch den betrag noch dividieren? bzw.
> wann
> > neheme ich was?
>
> Was meinst du? "Wann nehme ich was"? Beide Formeln [mm]|x|' = x/|x|[/mm]
> bzw. [mm]|x|' = |x|/x[/mm] gelten.
>
> > wo ist bei dir unten der betrag bzw der
> > Bruch ohne Betragsstriche hin?
>
> Ich habe keinen Betrag mehr, weil ich nur den Fall
> betrachte, wo der Betrag unnötig ist (also wo der Term im
> Betrag positiv ist).
ja jetzt hab ich erst geshen, dass du dann ja x/x hast was sich ja aufhebt....
>
>
>
>
> > > Evtl. ist es leichter für Ableiten + Nullstellenfinden,
> > > wenn du eine Fallunterscheidung durchführst. Dann ist der
> > > Betrag weg und alles ist viel bekannter.
> > > Es ist [mm]\frac{1-x}{1+x} > 0 \gdw -1 < x < 1[/mm]. (*)
> > Betrachten
> > > wir erstmal nur diesen Fall. Dann gilt
> > >
> > >
> > > [mm]f(x) = x\cdot \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}[/mm].
> > >
> > > [mm]f'(x) = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot \frac{-2}{(x+1)^2} = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} - \frac{x}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}[/mm].
>
> >
> > >
> > > Nullsetzen:
> > >
> > > $0 = f'(x) = [mm]\frac{1}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}\cdot \Big((1-x)*(1+x)[/mm]
> > > - [mm]x\Big)[/mm]
> > >
> > >
> > > Kannst du die Lösungen bestimmen? Wie du siehst, ist für
> > > das Vorzeichen außerdem nur der hinterste Faktor relevant,
> > > weil alles vorher positiv ist.
> >
> > naja [mm]-x^2[/mm] - x +1=0 setzen
> >
> > also
> >
> > x1= 1/2*(-1-sqrt(5))
> > x2= 1/2*(-1+sqrt(5))
>
> Ja. und eine Lösung liegt tatsächlich im Bereich [mm](-1,1)[/mm],
> den wir gerade untersuchen. Damit hast du eine
> Extremstelle.
gut und weil ich faul bin und keine zweite ableitung machen möchte hab ich mir die umgebung angeschaut und festgestellt, dass es ein Max ist ;)
Fall2: x>1 V x<-1
f'(x) = - [mm] \bruch{(1-x)*(x+1) - x}{\wurzel{-\bruch{1-x}{1+x}} *(x+1)^{2}}
[/mm]
was machen ich jetzt wegen der negativen wurzel?
>
>
>
> > > > ups, da is was schief gegangen...
> > > > ich kenne es so:
> > > > [mm]\limes_{x\rightarrow\1} \bruch{f(x) - f(1)}{x - 1} =\bruch{x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|)}{x-1}[/mm]
> > > > = ....
> > > >
> > > > jetzt hänge ich leider, macht x-1 nicht probleme, weil ich
> > > > hier so dann durch 0 div.?
> > >
> > > Du teilst nicht durch 0, weil das ja nur im Limes x -> 1
> > > passiert.
> > >
> > > Du musst nun überlegen, was mit obigem Term
> > >
> > > [mm]\bruch{x*sqrt(|\bruch{1-x}{1+x}|)}{x-1}[/mm]
> > >
> > > für x -> 1 insgesamt geschieht. Dein weiteres Vorgehen
> > > muss von einem Verdacht ausgehen. Hier lautet der Verdacht:
> > > Die Funktion ist nicht differenzierbar. D.h. du schaust dir
> > > den Term jetzt einmal für x->1, x < 1 und einmal für x ->
> > > 1, x > 1 an. In beiden Fällen kannst du den Betrag
> > > auflösen (siehe (*)) und den Grenzwert durch kürzen
> > > bestimmen.
> >
> > okay, aber im anderen fall habe ich ja einen negativen
> > bruch, also auch eine negative wurzel?
>
> Nein. Der Bruch ist negativ, aber der Betrag macht es ja
> positiv. In der Wurzel steht immer was positives.
>
> Fall x > 1, x-> 1:
>
> [mm]\bruch{x*\sqrt{|\bruch{1-x}{1+x}|}}{x-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{x*\sqrt{-\bruch{1-x}{1+x}}}{x-1}[/mm] =
> [mm]x*\sqrt{\bruch{1}{(1+x)*(x-1)}} \to \infty.[/mm]
>
> Fall x < 1, x-> 1:
>
> [mm]\bruch{x*\sqrt{|\bruch{1-x}{1+x}|}}{x-1}[/mm] =
> [mm]-\bruch{x*\sqrt{\bruch{1-x}{1+x}}}{1-x}[/mm] =
> [mm]-x*\sqrt{\bruch{1}{(1+x)*(1-x)}} \to -\infty.[/mm]
>
>
>
das ist jetzt klar! =)
>
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
lg
>
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Hallo,
> > Ja. und eine Lösung liegt tatsächlich im Bereich [mm](-1,1)[/mm],
> > den wir gerade untersuchen. Damit hast du eine
> > Extremstelle.
>
> gut und weil ich faul bin und keine zweite ableitung machen
> möchte hab ich mir die umgebung angeschaut und
> festgestellt, dass es ein Max ist ;)
Genau.
> Fall2: x>1 V x<-1
>
> f'(x) = - [mm]\bruch{(1-x)*(x+1) - x}{\wurzel{-\bruch{1-x}{1+x}} *(x+1)^{2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig.
> was machen ich jetzt wegen der negativen wurzel?
Die ist doch kein Problem. Wenn $x > 1$ bzw. $x < -1$ ist, dann ist [mm] $-\bruch{1-x}{1+x} [/mm] > 0$.
D.h. in der Wurzel steht eine positive Zahl. Du darfst dich da nicht von dem "-" beeindrucken lassen.
Du könntest ja auch einfach schreiben:
[mm] $\sqrt{-\bruch{1-x}{1+x}} [/mm] = [mm] \sqrt{\bruch{x-1}{1+x}}$
[/mm]
Ansonsten: Einfach jetzt die Ableitung Nullsetzen um die Extremstellen zu bestimmen.
f'(x) = 0 [mm] \gdw [/mm] $(1-x)*(x+1)-x = 0$.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 21.04.2013 | | Autor: | nero08 |
> Hallo,
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>
>
> > > Ja. und eine Lösung liegt tatsächlich im Bereich [mm](-1,1)[/mm],
> > > den wir gerade untersuchen. Damit hast du eine
> > > Extremstelle.
> >
> > gut und weil ich faul bin und keine zweite ableitung machen
> > möchte hab ich mir die umgebung angeschaut und
> > festgestellt, dass es ein Max ist ;)
>
> Genau.
>
>
> > Fall2: x>1 V x<-1
> >
> > f'(x) = - [mm]\bruch{(1-x)*(x+1) - x}{\wurzel{-\bruch{1-x}{1+x}} *(x+1)^{2}}[/mm]
>
>
> Richtig.
>
> > was machen ich jetzt wegen der negativen wurzel?
>
> Die ist doch kein Problem. Wenn [mm]x > 1[/mm] bzw. [mm]x < -1[/mm] ist, dann
> ist [mm]-\bruch{1-x}{1+x} > 0[/mm].
> D.h. in der Wurzel steht eine
> positive Zahl. Du darfst dich da nicht von dem "-"
> beeindrucken lassen.
> Du könntest ja auch einfach schreiben:
>
> [mm]\sqrt{-\bruch{1-x}{1+x}} = \sqrt{\bruch{x-1}{1+x}}[/mm]
>
>
> Ansonsten: Einfach jetzt die Ableitung Nullsetzen um die
> Extremstellen zu bestimmen.
> f'(x) = 0 [mm]\gdw[/mm] [mm](1-x)*(x+1)-x = 0[/mm].
okay.
also habe ich ein weiteres maximun(-1,61,-3,33)
zur Monotonie:
die kann man jetzt ja schon schön ablesen:
steigend ist die Funktion von (-oo;-1,61)
fallend (-1,61; -1) //der limes gegen -1 geht jeweils gegen -oo
steigend (-1;0,61)
fallend (0,61;1)
steigent (1; OO)
oder?
lg
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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Hallo Nero,
ich kürze mal die Zitatkette.
> > Ansonsten: Einfach jetzt die Ableitung Nullsetzen um die
> > Extremstellen zu bestimmen.
> > f'(x) = 0 [mm]\gdw[/mm] [mm](1-x)*(x%2B1)-x%20%3D%200[/mm].
> okay.
>
> also habe ich ein weiteres maximun(-1,61,-3,33)
Hm. Wenn man etwas genau angeben kann, dann sollte man das tun. In keinem Fall aber sollte man derartig grob runden (und für den x-Wert sogar falsch).
Vermeide also Dezimalbrüche, sondern schreib exakte Lösungen.
> zur Monotonie:
>
> die kann man jetzt ja schon schön ablesen:
>
> steigend ist die Funktion von (-oo;-1,61)
> fallend (-1,61; -1) //der limes gegen -1 geht jeweils
> gegen -oo
> steigend (-1;0,61)
> fallend (0,61;1)
> steigent (1; OO)
Also, ich lese da etwas anderes ab. So ist z.B. $f'(-2)=-1<0$.
edit: hm. Da habe ich falsch abgelesen. Es war wohl doch schon zu spät... Sorry.
Übrigens schreibt man [mm] \infty [/mm] in LaTeX einfach \infty.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 So 21.04.2013 | | Autor: | nero08 |
> Hallo Nero,
>
> ich kürze mal die Zitatkette.
>
> > > Ansonsten: Einfach jetzt die Ableitung Nullsetzen um die
> > > Extremstellen zu bestimmen.
> > > f'(x) = 0 [mm]\gdw[/mm] [mm](1-x)*(x%2B1)-x%20%3D%200[/mm].
> > okay.
> >
> > also habe ich ein weiteres maximun(-1,61,-3,33)
>
> Hm. Wenn man etwas genau angeben kann, dann sollte man das
> tun. In keinem Fall aber sollte man derartig grob runden
> (und für den x-Wert sogar falsch).
> Vermeide also Dezimalbrüche, sondern schreib exakte
> Lösungen.
geht klar :)
>
> > zur Monotonie:
> >
> > die kann man jetzt ja schon schön ablesen:
> >
> > steigend ist die Funktion von (-oo;-1,61)
> > fallend (-1,61; -1) //der limes gegen -1 geht jeweils
> > gegen -oo
> > steigend (-1;0,61)
> > fallend (0,61;1)
> > steigent (1; OO)
>
> Also, ich lese da etwas anderes ab. So ist z.B.
> [mm]f'(-2)=-1<0[/mm].
das finde ich ein wenig verwirrend. den laut plot ist der graph doch eindeutig steigend dort?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x*sqrt%28%7C%281-x%29%2F%281%2Bx%29%7C%29
>
> Übrigens schreibt man [mm]\infty[/mm] in LaTeX einfach
> [mm][code]\infty[/code].[/mm]
>
> Grüße
> reverend
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Mo 22.04.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> > > zur Monotonie:
> > >
> > > die kann man jetzt ja schon schön ablesen:
> > >
> > > steigend ist die Funktion von (-oo;-1,61)
> > > fallend (-1,61; -1) //der limes gegen -1 geht
> jeweils
> > > gegen -oo
> > > steigend (-1;0,61)
> > > fallend (0,61;1)
> > > steigent (1; OO)
Schreibt man 'steigend/t' nun mit d oder t am Ende?
> >
> > Also, ich lese da etwas anderes ab. So ist z.B.
> > [mm]f'(-2)=-1<0[/mm].
ich komme auf [mm] $f'(-2)=\frac{1}{\sqrt 3}
[/mm]
>
> das finde ich ein wenig verwirrend. den laut plot ist der
> graph doch eindeutig steigend dort?
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=x*sqrt%28%7C%281-x%29%2F%281%2Bx%29%7C%29
Ich kann Deine Angaben zur Monotonie also besätigen (davon abgesehen, dass man die Dezimalzahlen auch exakt angeben kann).
>
> >
> > Übrigens schreibt man [mm]\infty[/mm] in LaTeX einfach
> > [mm][code]\infty[/code].[/mm]
> >
> > Grüße
> > reverend
> lg
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:04 Mo 22.04.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo reverend,
>
> Also, ich lese da etwas anderes ab. So ist z.B.
> [mm]f'(-2)=-1<0[/mm].
bist Du Dir da sicher? Ich komme auf was anderes. Siehe mein Beitrag.
>
> Übrigens schreibt man [mm]\infty[/mm] in LaTeX einfach
> [mm][code]\infty[/code].[/mm]
>
> Grüße
> reverend
Gruß,
notinX
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