Kurvendiskussion ohne Diffrech < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Sa 05.01.2013 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Von der folgenden Funktion sollen die NST, Extreama Asymptoten und Monotonie ermittelt werden. Wichtig ist, dass dies ohne die DIfferentialrechnung erfolgen muss.
f(x) = [mm] \bruch{x}{x^2 +1}
[/mm]
Die NST sind noch kein problem. Diese ist x=0.
Asymptoten gibts keine soweit ich das sehe...
Die werte konvergieren jeweils für [mm] \pm\infty [/mm] gegen 0....
Wie berechnen ich die extrema und wie stelle ich die monotonie fest?
lg
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Hallo nero,
> Hallo!
>
> Von der folgenden Funktion sollen die NST, Extreama
> Asymptoten und Monotonie ermittelt werden. Wichtig ist,
> dass dies ohne die DIfferentialrechnung erfolgen muss.
Also das ist ja mal richtig hässlich. Aber nagut....
>
> f(x) = [mm]\bruch{x}{x^2 +1}[/mm]
>
> Die NST sind noch kein problem. Diese ist x=0.
>
> Asymptoten gibts keine soweit ich das sehe...
Nunja, eine horizontale Asymptote gibt es schon, wenn man das so will. [mm] \Rightarrow [/mm] y=0.
>
> Die werte konvergieren jeweils für [mm]\pm\infty[/mm] gegen 0....
>
> Wie berechnen ich die extrema und wie stelle ich die
> monotonie fest?
Ich habe folgenden Vorschlag.
Nehmen wir die konstante Funktion g(x)=a und suchen den Schnittpunkt g(x)=f(x). Dies führt auf eine quadratische Gleichung. Wendet man darauf die p/q-Formel an, dann suche man genau das a damit die Diskriminante D=0 ist. Es gibt also nur eine Lösung und nach unseren Konstrukt daher nur einen Schnittpunkt. Also ist das genau ein Extrempunkt.
Man untersucht das für a<0 und a>0.
Außerdem kann es bei einem Polynom zweiten Grades maximal zwei Lösungen geben und daher keine weiteren Extrempunkte. Mit dieser Überlegung kann man dann auf die Monotonie schlussfolgern.
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 So 06.01.2013 | | Autor: | nero08 |
hi!
> Hallo nero,
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> > Hallo!
> >
> > Von der folgenden Funktion sollen die NST, Extreama
> > Asymptoten und Monotonie ermittelt werden. Wichtig ist,
> > dass dies ohne die DIfferentialrechnung erfolgen muss.
> Also das ist ja mal richtig hässlich. Aber nagut....
;D
> >
> > f(x) = [mm]\bruch{x}{x^2 +1}[/mm]
> >
> > Die NST sind noch kein problem. Diese ist x=0.
> >
> > Asymptoten gibts keine soweit ich das sehe...
> Nunja, eine horizontale Asymptote gibt es schon, wenn man
> das so will. [mm]\Rightarrow[/mm] y=0.
stimmt.....
> >
> > Die werte konvergieren jeweils für [mm]\pm\infty[/mm] gegen 0....
> >
> > Wie berechnen ich die extrema und wie stelle ich die
> > monotonie fest?
> Ich habe folgenden Vorschlag.
> Nehmen wir die konstante Funktion g(x)=a und suchen den
> Schnittpunkt g(x)=f(x). Dies führt auf eine quadratische
> Gleichung. Wendet man darauf die p/q-Formel an, dann suche
> man genau das a damit die Diskriminante D=0 ist. Es gibt
> also nur eine Lösung und nach unseren Konstrukt daher nur
> einen Schnittpunkt. Also ist das genau ein Extrempunkt.
>
> Man untersucht das für a<0 und a>0.
okay habe versucht deinen Vorlschlag umzusetzen:
a>
a= [mm] \bruch{x}{x^2+1} \gdw ax^2 [/mm] + a -x=0
D= [mm] p^2 [/mm] - 4q
0= [mm] (-1)^2 [/mm] -4a
a=1/4
Nun die pq Formel:
[mm] \bruch{1}{2}\pm\wurzel{(\bruch{1}{2})^2 -\bruch{1}{4} }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x=1/2
a<0
[mm] -ax^2 [/mm] - a -x=0
D= [mm] p^2 [/mm] + 4q
0= [mm] (-1)^2 [/mm] +4a
a=- 1/4
Nun die pq Formel:
[mm] \bruch{1}{2}\pm\wurzel{(\bruch{1}{2})^2 +\bruch{1}{4} }
[/mm]
Jetzt kommen aber zwei Lösungen heraus und x müsste ja auch 1 sein und nicht 1/2 :(. wo liegt der Fehler?
lg
>
> Außerdem kann es bei einem Polynom zweiten Grades maximal
> zwei Lösungen geben und daher keine weiteren Extrempunkte.
> Mit dieser Überlegung kann man dann auf die Monotonie
> schlussfolgern.
> >
> > lg
>
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Abend,
kurz ein allgemeiner Hinweis: Bitte lass keine Leerzeichen zwischen den Formeln. So wird nämlich alles schön formatiert und es sieht einfach besser aus.
> > Ich habe folgenden Vorschlag.
> > Nehmen wir die konstante Funktion g(x)=a und suchen den
> > Schnittpunkt g(x)=f(x). Dies führt auf eine quadratische
> > Gleichung. Wendet man darauf die p/q-Formel an, dann suche
> > man genau das a damit die Diskriminante D=0 ist. Es gibt
> > also nur eine Lösung und nach unseren Konstrukt daher nur
> > einen Schnittpunkt. Also ist das genau ein Extrempunkt.
> >
> > Man untersucht das für a<0 und a>0.
> okay habe versucht deinen Vorlschlag umzusetzen:
>
> a>
>
> a= [mm]\bruch{x}{x^2+1} \gdw ax^2[/mm] + a -x=0
Hier würde ich erst einmal durch a teilen. Man erhält [mm] x^2-\frac{1}{a}x+1=0
[/mm]
Mit p-q-Formel erhält man als Lösungen für x:
[mm] x_{1,2}=\frac{1}{2a}\pm\sqrt{\frac{1}{4a^2}-1}
[/mm]
Nun soll der Ausdruck unter der Wurzel 0 sein. Also [mm] \frac{1}{4a^2}=1\gdw{}a=\frac{1}{2}. [/mm] Setzt man nun a ein, so erält man die Lösung x=1. Also haben wir bei x=1 ein Extremum.
Analog behandelt man den Fall für a<0. Die Diskriminante ist da identisch, wegen dem Quadrat. Nur der erste Summand ist eben anders...
> x=0 ist auch eine Lösung, das ist klar, denn es gibt ja nur einen Schnitt > mit y
>
> D= [mm]p^2[/mm] - 4q
> 0= [mm](-1)^2[/mm] -4a
> a=1/4
> Nun die pq Formel:
> [mm]\bruch{1}{2}\pm\wurzel{(\bruch{1}{2})^2 -\bruch{1}{4} }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=1/2
>
> a<0
>
> [mm]-ax^2[/mm] - a -x=0
>
> D= [mm]p^2[/mm] + 4q
> 0= [mm](-1)^2[/mm] +4a
> a=- 1/4
> Nun die pq Formel:
> [mm]\bruch{1}{2}\pm\wurzel{(\bruch{1}{2})^2 +\bruch{1}{4} }[/mm]
>
> Jetzt kommen aber zwei Lösungen heraus und x müsste ja
> auch 1 sein und nicht 1/2 :(. wo liegt der Fehler?
>
> lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Sa 05.01.2013 | | Autor: | leduart |
HALLO
Die fkt ist ounktsymetrisch zu 0. alsosuchst du nur ein max rechts, dasgibt ein min links. die fkt geht fuer x gegen unendlich gegen die x=Achse als Assymptote.
fuer 0<x<1 waechst der Zaehler schneller alsder Nenner wegen [mm] x^2
ich finde das gut, wieviel man ohne Differentialrechnung einer Kurve ansehen kann.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 So 06.01.2013 | | Autor: | nero08 |
> HALLO
hi
> Die fkt ist ounktsymetrisch zu 0. alsosuchst du nur ein
> max rechts, dasgibt ein min links. die fkt geht fuer x
> gegen unendlich gegen die x=Achse als Assymptote.
> fuer 0<x<1 waechst der Zaehler schneller alsder Nenner
> wegen [mm]x^2
> man bei x=1 ein max, bei-1 ein min,wegen der symmetrie bei
> x+0 einen Wendepunkt, 2 weiter liegen zwischen 1 und
> [mm]\infty[/mm] und -1 und [mm]-\infty.[/mm]
> ich finde das gut, wieviel man ohne Differentialrechnung
> einer Kurve ansehen kann.
eine sehr interessante lösung...
aber reicht diese aus? du machst hier ja doch sehr viel intuitiv, meine ich...
lg
> Gruss leduart
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Hallo,
> eine sehr interessante lösung...
>
> aber reicht diese aus? du machst hier ja doch sehr viel
> intuitiv, meine ich...
ja, sie reicht aus (das ist mit Sicherheit sogar genau so angedacht) und nen: leduart hat hier überhaupt nichts intuitiv gemacht sondern alles streng begründet. Nicht umsonst beginnt sie mit der Symmetrie...
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:14 So 06.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
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> Von der folgenden Funktion sollen die NST, Extreama
> Asymptoten und Monotonie ermittelt werden. Wichtig ist,
> dass dies ohne die DIfferentialrechnung erfolgen muss.
>
> f(x) = [mm]\bruch{x}{x^2 +1}[/mm]
es wurde ja schon auf $f(-x)=f(x)$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] hingewiesen. Betrachten
wir also mal nur alle $x [mm] \ge 0\,,$ [/mm] dann ist $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ schon klar.
Jetzt machen wir mal was "Lustiges", was aber vielleicht weniger intuitiv
erscheint als das von Leduart gesagte:
Wir suchen nach einer Schranke $S > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass $f(x) [mm] \le [/mm] S$ für alle $0 [mm] \le x\,$ [/mm] - eigentlich
suchen wir nach der kleinstmöglichen Schranke $S > [mm] 0\,$ [/mm] - und dazu formen wir mal
ein wenig um unter Beachtung der Annahme $S > [mm] 0\,:$
[/mm]
[mm] $$\frac{x}{x^2+1} \le [/mm] S$$
[mm] $$\iff [/mm] x [mm] \le S(x^2+1)$$ [/mm]
[mm] $$\iff Sx^2 [/mm] -x+S [mm] \ge [/mm] 0$$
[mm] $$\iff x^2-\frac{1}{S}x+1 \ge [/mm] 0$$
[mm] $$\iff g(x):={\Big(x-\frac{1}{2S}\Big)}^2+1-\frac{1}{4S^2} \ge 0\,.$$
[/mm]
Ganz unten steht auf der linken Seite nun (die Funktionsgleichung) eine(r)
verschobene(n) Normalparabel in Abhängigkeit des Parameters $S > [mm] 0\,.$ [/mm] Welchen
Scheitelpunkt hat sie? Inwiefern hilft es uns nun, sich zu überlegen, ob
man den Scheitelpunkt möglichst nahe an die [mm] $x\,$-Achse, [/mm] vielleicht sogar
auch auf die [mm] $x\,$-Achse, [/mm] schieben kann? (Wobei die beste und eigentlich
auch richtig(er)e Überlegung wäre: Wie klein kann man $S > [mm] 0\,$ [/mm]
höchstens machen, damit diese verschobene Normalparabel, bzw. der
Scheitelpunkt dieser (nach oben geöffneten)verschobenen Normalparabel,
immer noch oberhalb der [mm] $x\,$-Achse [/mm] zu liegen kommt - wobei "ein Schnitt
mit der [mm] $x\,$-Achse" [/mm] dabei erlaubt ist).
P.S. Falls das ganze Dir so immer noch nicht so klar erscheint: Betrachte
nun mal die Funktion $S [mm] \mapsto 1-\tfrac{1}{4S^2}$ [/mm] (für $S > [mm] 0\,$) [/mm] und überlege Dir mit dieser
Funktion weiteres. Wobei ich glaube, dass Du das hier erst dann wirklich
verstehen wirst, wenn Du die Vorüberlegungen oben verstanden hast.
Gruß,
Marcel
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