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Moin...
Nächste Woche findet bei mir die mündl. Prüfung in Mathe statt mit der Aufgabe, eine Kurvendiskussion an einer e-Funktion durchzuführen.
Ich bin in Mathe sehr oft aufm Holzweg ;) Deswegen bräuchte ich auch mal Hilfe...
Also folgendes:
Wie gesagt, ich muss eine Kurvendiskussion an einer e-Funktion durchführen, wahrscheinlich sowas wie e^2x+3 etc.
Meine Fragen:
1. Wie verhält es sich hier mit den Ableitungen bzw. wie sind die Regeln und wie sehen die Ableitungen in etwa aus ?
2. Muss ich bei der Berechnung der Extrema, Wendepunkte etc. irgendetwas beachten?
3. Wie sind die Auswirkungen, wenn die Funktion positiv bzw. negativ ist ( d.h. [mm] e^x [/mm] bzw. e^-x [also wie verhält sich die Funktion]) ?
4. Mein Lehrer sagte mir noch etwas von einer Normalen in einem Punkt und einer Tangente in einem Punkt. Im Moment kann ich mir da nicht soviel drunter vorstellen, gehe aber davon, das er meinte ich solle eine Tangente bzw. Normale in dem Punkt (x/y) erstellen.
Ähm ja, was hab ich mir hier drunter vorzustellen? Finde leider keinen Ansatz, hat bei so Tangentengeschichten eh immer kleine Probleme ;)
5. Ich soll auch die Umkehrfunktion beherschen. Für was ist die nützlich? Also welchen Zweck hat es ?
6. Gibt im Bezug auf Kurvendiskussion+e-funktion noch irgendwelche Fragen/Gebiete die ich aufarbeiten sollte?
Also gibt es Sachen, die ich noch unbedingt machen sollte, damit ich in der Prüfung nicht untergehe?
Naja, vermutlich muss ich das ganze dann auch noch integrieren, das dürfte aber soweit kein Problem sein.
Bedanke mich schonmal im Vorraus und hoffe, das die eine oder andere Frage beantwortet werden kann :)
Danke
Bis dann
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi eagle,
ich versuch mal fix 'nen Crashkurs, der dir anhand des Beispiels hoffentlich einiges klar macht:
> Also folgendes:
> Wie gesagt, ich muss eine Kurvendiskussion an einer
> e-Funktion durchführen, wahrscheinlich sowas wie e^2x+3
> etc.
Also, wir nehmen [mm]f(x)=e^{2x}+3[/mm]
> Meine Fragen:
> 1. Wie verhält es sich hier mit den Ableitungen bzw. wie
> sind die Regeln und wie sehen die Ableitungen in etwa aus ?
zu den Ableitungen. Zuerst mal besteht [mm]f[/mm] ja aus zwei Summanden, von denen der 2. nicht von [mm]x[/mm] abhängt. Also fällt der beim Ableiten weg. Der erste Summand, also [mm]e^{2x}[/mm] ist für sich gesehen eine "geschachtelte" Funktion in [mm]x[/mm]. Das bedeutet, du mußt hier nach der Kettenregel ableiten. Diese besagt: Hat eine Funktion die Darstellung [mm]f(x)=h(g(x))[/mm], so ist [mm]f'(x)=h'(g(x))g'(x)[/mm] (äußere Ableitung mal innere Ableitung). Die [mm]e[/mm]-Funktion hat die nette Eigenschaft unter der Ableitung invariant zu sein, d.h. es kommt beim Ableiten dieselbe Funktion wieder raus. Die innere Funktion ist bei unserm Beispiel [mm]g(x)=2x[/mm], also [mm]g'(x)=2[/mm]. Wenn du das alles zusammenbaust, dann ergibt sich [mm]f'(x)=2e^{2x}[/mm].
> 2. Muss ich bei der Berechnung der Extrema, Wendepunkte
> etc. irgendetwas beachten?
Wenn du verstanden hast, wie du die Ableitung berechnest, geht das alles straight forward, wie bei anderen Funktionen auch. Unsere Funktion hat keinen Extrem- und Wendepunkt, da die Forderung [mm]f'(x)=2e^{2x}\stackrel{!}{=}0[/mm] nicht erfüllt werden kann (die [mm]e[/mm]-Funktion ist wie du sicher weißt immer >0 ) Und das wird auch durch nochmaliges Ableiten nicht besser.
> 3. Wie sind die Auswirkungen, wenn die Funktion positiv
> bzw. negativ ist ( d.h. [mm]e^x[/mm] bzw. e^-x [also wie verhält
> sich die Funktion]) ?
Für negative Exponenten ändert sich natürlich die gesamte Funktion. Ich nehme mal an, du meinst das asymptotische Verhalten. Es ist [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^x=\infty,\quad \limes_{x\rightarrow -\infty}e^x=0[/mm], wohingegen [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^{-x}=0,\quad\limes_{x\rightarrow -\infty}e^x=\infty[/mm]. Das siehst du am besten, wenn du die Graphen dazu mal plottest, bzw. einfach für einige sehr große und sehr kleine x die Werte in den Taschenrechner eingibst.
> 4. Mein Lehrer sagte mir noch etwas von einer Normalen in
> einem Punkt und einer Tangente in einem Punkt. Im Moment
> kann ich mir da nicht soviel drunter vorstellen, gehe aber
> davon, das er meinte ich solle eine Tangente bzw. Normale
> in dem Punkt (x/y) erstellen.
> Ähm ja, was hab ich mir hier drunter vorzustellen? Finde
> leider keinen Ansatz, hat bei so Tangentengeschichten eh
> immer kleine Probleme ;)
Die Tangente in einem Punkt an [mm]f[/mm], ist die Grenzlage einer Sekante des Graphen. D.h. du nimmst dir einen festen Punkt [mm]x_0[/mm] auf dem Graphen der Funktion und einen zweiten (frei wählbaren, irgendeinen!). Dann ziehst du durch beide Punkte eine Gerade. (diese ist ja eindeutig bestimmt.) Und nun läßt du den zweiten (variablen) Punkt auf dem Graphen auf [mm]x_0[/mm] zuwandern ([mm]x_0[/mm] noch immer fest lassen!). Wenn du dann in [mm]x_0[/mm] ankommst, ist die Sekante zur Tangente geworden. Soweit zur geometrischen Interpretation. Analytisch gesehen gibt die Ableitung von [mm]f[/mm] in [mm]x_0[/mm] den Anstieg der Tangente in [mm]x_0[/mm] an, d.h. der Wert [mm]f'(x_0)[/mm] ist der Anstieg der Tangente in [mm]x_0[/mm].
> 5. Ich soll auch die Umkehrfunktion beherschen. Für was ist
> die nützlich? Also welchen Zweck hat es ?
Die Umkehrfunktion der [mm]e[/mm]-Funktion ist der Logarithmus. Wenn du dir z.B. einen festen Wert [mm]y_0[/mm] auf [mm]f[/mm] vorgibst, d.h. [mm]y_0=f(x)=e^{2x}+3[/mm] und gern wissen möchtest, für welche Werte [mm]x[/mm] dein [mm]y_0[/mm] angenommen wird, dann mußt du die Gleichung nach [mm]x[/mm] auflösen. Wie du siehst, kommst du nicht so ohne Weiteres an das [mm]x[/mm] ran. Wenn du 3 abziehst, steht da [mm]e^{2x}=y_0-3[/mm]. Und jetzt kommt die Umkehrfunktion zum Zuge: du wendest dazu [mm]\ln[/mm] auf die Gleichung an, dann steht da: [mm]2x=\ln(e^{2x})=\ln(y_0-3)[/mm]. Dann kannst du durch 2 teilen und hast dein [mm]x[/mm].
> 6. Gibt im Bezug auf Kurvendiskussion+e-funktion noch
> irgendwelche Fragen/Gebiete die ich aufarbeiten sollte?
> Also gibt es Sachen, die ich noch unbedingt machen sollte,
> damit ich in der Prüfung nicht untergehe?
Das kommt ganz darauf an, was ihr noch so alles in der Kurvendiskussion diskutiert. Am Besten du spielst es mal durch, und wenn du konkrete Probleme hast, dann versuche sie anhand des Beispiels hier zu hinterfragen.
> Naja, vermutlich muss ich das ganze dann auch noch
> integrieren, das dürfte aber soweit kein Problem sein.
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> Bedanke mich schonmal im Vorraus und hoffe, das die eine
> oder andere Frage beantwortet werden kann :)
>
> Danke
> Bis dann
>
mfg
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Hui, danke schonmal soweit..
Aber hab ich das bei den Extrema und Wendepunkte jetzt richtig verstanden, das man diese beiden Sachen bei einer Funktion mit e praktisch nicht ausrechnen kann weil immer ein Wert <> 0 rauskommt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Fr 10.06.2005 | | Autor: | outkast |
[mm] f(x)=e^{2x}+3
[/mm]
=> [mm] f'(x)=2e^{2x}
[/mm]
um die Extrempunkte zu finden schaust du wann die Steigung der Funktion 0 ist - da aber selbst [mm] e^{0} [/mm] kein 0 ergibt sondern e hat f(x) keinen Punkt an dem die Steigung 0 ist -> f'(x) ist immer positiv und ist deshalb streng monoton steigend
[mm] =>f''(x)=4e^{2x}
[/mm]
um vorhandene Wendepunkte zu finden müssen die x werte gefunden werden bei der die Funktion 0 ergibt -> da die funktion aber immer positiv ist gibt es auch hier keine Wendepunkte -> aber du kannst das Krümmungsverhalten bestimmen also f''(x) >0 ->der Graph ist linksgekrümmt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Fr 10.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Adler
> Aber hab ich das bei den Extrema und Wendepunkte jetzt
> richtig verstanden, das man diese beiden Sachen bei einer
> Funktion mit e praktisch nicht ausrechnen kann weil immer
> ein Wert <> 0 rauskommt?
"bei einer Funktion mit e" ist viel zu allgemein! nur die e fkt selbst, dh [mm] e^{a*x} [/mm] wächst wenn a positiv ist monoton, wenn x von - unendlich bis + unendlich geht. Wenn a neg dann fällt sie entsprechend.
Die Fkt ,die du als Beispiel hattest ist zu einfach, ich glaub kaum, dass sowas in einer Prüfung vorkommt!
[mm] y=(x-x^{2})*e^{2x} [/mm] ist ein besseres Beispiel.
1. Nullstellen: ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. [mm] e^{2x} [/mm] ist nie Null. bleibt [mm] x-x^{2}=0
[/mm]
x ausklammern (x*(1-x)=0 wieder " ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist" also x=0 oder 1-x=0 ==> x=1 also die zwei Nullstellen x1=0 x2=1
Verhalten für x gegen + unendlich: für große x ist [mm] x-x^{2} [/mm] negativ (wenn du so was nicht direkt siehst setz ein grosses x ein , du musst jan icht genau rechnen abr dass [mm] 100-100^{2} [/mm] neg ist sieht doch jeder! [mm] e^{2x} [/mm] ist pos. ud wird riesig für große x d.h. für x gegen + unendl. geht y gegen -unendl. Für x gegen - Unendlich, [mm] x-x^{2} [/mm] negativ, [mm] e^{2x} [/mm] wird aber schneller klein als der Vorfaktor wächst, d.h. y geht von unten gegen 0.
Maxima und Minima:
y' mit Produktregel y'= [mm] (1-2x)*e^{2x} [/mm] + [mm] (x-x^{2})*2*e^{2x}
[/mm]
IMMER SEHEN OB MAN DEN E FKT ANTEIL AUSKLAMMERN KANN1 Geht hier
y'= [mm] e^{2x}*(1-2x+2x-2x^{2}) [/mm] y'=0==> [mm] e^{2x}*(1-2x+x-x^{2}) [/mm] =0 wie oben
[mm] (1-2x+2x-2x^{2})=0 1-2x^{2}=0 [/mm] Quadratische Gleichungen brauchst du auf jeden Fall. also lös die
du findest x1= [mm] +\wurzel{0,5}; x2=-\wurzel{0,5}.
[/mm]
jetzt bestimmen welches Maximum und welches Minimum ist .
Entweder y'' bilden Wert einsetzen, oder Vorzeichenwechsel von y' ansehen , oder Nachsehen, was du schon weisst. Die Fkt ist für grosse x negativ, fur neg. x negativ, d.h. sie ist nur zw. den 2 Nullstellen pos. deshalb ist bei x1 ein Max, dann ist bei x2 ein Min. .
Was kann man in der Prüfung noch fragen? Wendepunkte! also y'' ausrechnen und Null setzen. das machst du mal allein!
Allgemeine Fragen: Wieso kann man Extremwerte bestimmen durch y'=0? Hat man sicher einen Extremwert wenn y'=0?
Bestimme die Tangente bei x=0 : Du bestimmst die Steigung bei x=0 also y'(0) das ist hier 1. Dann die Gerade durch den Punkt (0,0) mit Steigung 1 das ist y=x. Bestimme du die Tangente im Punkt 1,0
Soweit so gut.
Jetzt für dich zum Üben: [mm] y=x^{2}*e^{-0,5x}-4*e^{-0,5x}! [/mm] Oder such dir ne Aufgabe aus deinem Schulbuch und üb. Wenn du sicher bist, dass sowas dran kommt, mach unbedingt ein paar Augaben. Und üb mit FreundIn, dazu zu reden: wenn man das nicht vorher mal gemacht hat, stottert man leicht rum, dann wirkt man unsicher, obwohl mans kann und das macht sich schlecht! Also sag alles, was du machst laut, und warum dus machst!
Gruss leduart
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