Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie
W = Kurvenintegral [mm] \overrightarrow{V}d\overrightarrow{r}
[/mm]
wobei [mm] \overrightarrow{V} [/mm] = [mm] \vektor{y^2z^-1 \\ 2xyz^-1 \\ 1-xy^2z^-2} [/mm] , z > 0
und C
a) die geradlinige Verbindung zwischen den Punkten P1 (1, 1, 1) und P2 (2, 3, 4),
b) der Rand des Dreiecks ABC mit Startpunkt A und A (1, 1, 1), b (2, 3, 4) und C (1, 3, 6). |
Ich bin mit dem dreidimensionalen gerade total überfordert.
Im zweidimensionalen kriege ich das wohl noch hin (wobei ich selbst da teilweise Schwierigkeiten habe).
Bisher waren bei meinen gerechneten Aufgaben nur 2 Kompenenten im Vektor V und es waren sowohl die Punkte P1 und P2 (auch 2D), als auch der Weg, z.b. y = x oder y = [mm] x^2 [/mm] gegeben.
Damit weiß ich grob was anzufangen.... Aber ich bin nun schon seit Tagen fast durchgängig am Rechnen.... so langsam brät mir der Kopf durch.
Falls jemand genug Lust und Zeit hat, mir den Lösungsweg so aufzuzeigen, dass ich das heute noch nachrechnen könnte und mir das Verfahren für die Klausur aneignen könnte, wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 So 29.06.2014 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \overrightarrow{V} [/mm] $ besitzt eine Stammfunktion, also ist das Kurvenintegral ur abh. vom Anfangs - und Endpunkt der Kurve
FRED
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Alles klar. Danke für den Hinweis.
Ich habe dann also erst einmal rot V berechnet und festgestellt, dass das Ergebnis ein Nullvektor ist. Demnach ist das Integral Wegunabhängig.
(Wegen der anstehenen Klausur habe ich das etwas ausführlicher gemacht)
So, weiter geht es und nun hapert es wieder ein wenig.
Wenn es wegunabhängig ist, dann kann ich ja die Potetntialdifferenz davon berechnen und habe das Ergebnis.
Also Integriere ich [mm] y^2*z^-1 [/mm] mit x und erhalte [mm] (x*y^2)/z.
[/mm]
Aber mit diesem Ergebnis komme ich nicht auf die richtige Lösung. Wo steckt nun wieder mein Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 So 29.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Alles klar. Danke für den Hinweis.
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> Ich habe dann also erst einmal rot V berechnet und
> festgestellt, dass das Ergebnis ein Nullvektor ist. Demnach
> ist das Integral Wegunabhängig.
> (Wegen der anstehenen Klausur habe ich das etwas
> ausführlicher gemacht)
>
> So, weiter geht es und nun hapert es wieder ein wenig.
> Wenn es wegunabhängig ist, dann kann ich ja die
> Potetntialdifferenz davon berechnen und habe das Ergebnis.
>
> Also Integriere ich [mm]y^2*z^-1[/mm] mit x und erhalte [mm](x*y^2)/z.[/mm]
> Aber mit diesem Ergebnis komme ich nicht auf die richtige
> Lösung. Wo steckt nun wieder mein Fehler?
Wenn Du [mm]y^2*z^-1[/mm] nach x integrierst, bekommst Du [mm](x*y^2)/z+c(y,z)[/mm] mit einer nur von y und z abh. Fkt. c
FRED
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Stimmt, ich erhalte [mm] x*y^2*z^-1 [/mm] + c(y, x)
Um die Funktion c zu ermitteln leite ich erst einmal nach y ab und erhalte:
2xy/z + c(z)
Vergleich mit v2 (2xy/z) ergibt c(z) = 0
Dann leite ich dieselbe Gleichung wieder ab, diesemal nach z und erhalte:
[mm] -1y^2*z^-2 [/mm] + c(y)
Vergleich mit v3 [mm] (1-xy^2*z^-2) [/mm] ergibt c(y) = 1
Was genau bedeutet dies nun?
Wenn ich dann in der Potentialgleichung für c(x, y) = 1 schreibe, hebt sich das beim Rechnen wieder auf und ich erhalte das selbe Ergebnis. Wo habe ich nun schon wieder den Fehler?
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Hallo Pingumane,
> Stimmt, ich erhalte [mm]x*y^2*z^-1[/mm] + c(y, x)
>
[mm]\bruch{x*y^{2}}{z}+c\left(y,z\right)[/mm]
> Um die Funktion c zu ermitteln leite ich erst einmal nach y
> ab und erhalte:
>
> 2xy/z + c(z)
[mm]\bruch{2*x*y}{z}+\bruch{\partial}{\partial y}c\left(y,z\right)[/mm]
> Vergleich mit v2 (2xy/z) ergibt c(z) = 0
>
Wohl eher: [mm]\bruch{\partial}{\partial y}c\left(y,z\right)=0[/mm]
Daraus ergibt sich doch [mm]c\left(y,z\right)=c\left(z\right)[/mm]
> Dann leite ich dieselbe Gleichung wieder ab, diesemal nach
> z und erhalte:
> [mm]-1y^2*z^-2[/mm] + c(y)
>
> Vergleich mit v3 [mm](1-xy^2*z^-2)[/mm] ergibt c(y) = 1
>
Es muss hier dann stehen: [mm]\bruch{d}{dz}c\left(z\right)=1[/mm]
> Was genau bedeutet dies nun?
> Wenn ich dann in der Potentialgleichung für c(x, y) = 1
> schreibe, hebt sich das beim Rechnen wieder auf und ich
> erhalte das selbe Ergebnis. Wo habe ich nun schon wieder
> den Fehler?
Gruss
MathePower
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Alles klar, danke für die Hinweise.
Aber das sind ja "nur" Formfehler, oder? (Auch wenn diese auch extrem wichtig sind... Punkte, Punkte, Punkte)
Dennoch bleibt doch das Ergebnis am Ende das selbe, oder?
bzw. bleibe ich immer noch bei [mm] -\bruch{xy^2}{z^2} [/mm] + 1 stecken.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mo 30.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
bitte sei vorsichtig bei dieser Aufgabe. Fred hat zwar recht, aber falls ihr die Thematik mit der Potentialfunktion noch nicht eingeführt habt, so wird es in der Regel als falsch gewertet, wenn du die Aufgabe mit dem Potential löst.
Eventuell solltest du also wirklich noch einmal die Aufgabe straight forward lösen. Dann wärest du auf der sicheren Seite. Ich nehme an, dass das auch der Sinn der Aufgabe ist - daher auch Aufgabe a) und b).
Stelle also den Weg auf und berechne dann einfach das Kurvenintegral.
Das musst du nun einfach einschätzen. War mehr ein Hinweis meinerseits... (bei mir in Analysis 1 hatte ich damals auch Null punkte bekommen, da ich schon weiter im Stoff war, als in der Vorlesung  )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 So 29.06.2014 | | Autor: | Pingumane |
Vielen Dank für den Hinweis.
Das Potential haben wir jedoch bereits eingeführt.
Ich bin gerade im 2. Semester, Mathe II. Als kleine Info, um die behandelten Themen in etwa abschätzen zu können.
Auch wenn dies nur eine Mitteilung und keine Frage ist, kannst du vielleicht bei meiner Lösung kurz rüberhuschen und mir vielleicht sagen, wo der Fehler liegt?
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