Kurvenintegrale < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 So 04.05.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Vom Vektorfeld [mm] v=\vektor{3x-6y \\ 14yz^{2} \\ 20xz^{2}} [/mm] berechne man entlang der Kurven [mm] a_{1}, a_{1}, a_{3} [/mm] von (0/0/0) nach (1/1/1) mit
[mm] a_{1}: x=t^{3} y=t^{2} [/mm] z=t
[mm] a_{2}: [/mm] die strecke von (0/0/0) zu (0/1/0), dann zu (0/1/1) und schließlich zu (1/1/1)
[mm] a_{3}:die [/mm] Strecke von (0/0/0) zu (1/1/1)
die Kurvenintegrale von [mm] \integral [/mm] v dx zu berechnen
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aufgabe [mm] a_{1} [/mm] war mir klar wie ich sie Lösen muss:
[mm] \integral_{0}^{1}{ \vektor{3t^{3}-6t^{2} \\ 14t^{2}t^{2} \\ 20t^{3}t^{2}} * \vektor{3t^{2} \\ 2t \\ 1} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{57t^{5}-18t^{4} dt} [/mm] = ...
Doch wie berechne ich denn die anderen Integrale?
Mir ist aufgefallen dass ich ja im Prinzip vom gleichen Startpunkt zum gleichen endpunkt Integriere bei 2 und 3 jedoch über diverse Zwischenpunkte. Ich weiss nicht so ganz wie ich vorgehen soll.
Danke
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Hallo tobe,
> Vom Vektorfeld [mm]v=\vektor{3x-6y \\ 14yz^{2} \\ 20xz^{2}}[/mm]
> berechne man entlang der Kurven [mm]a_{1}, a_{1}, a_{3}[/mm] von
> (0/0/0) nach (1/1/1) mit
>
> [mm]a_{1}: x=t^{3} y=t^{2}[/mm] z=t
>
> [mm]a_{2}:[/mm] die strecke von (0/0/0) zu (0/1/0), dann zu (0/1/1)
> und schließlich zu (1/1/1)
>
> [mm]a_{3}:die[/mm] Strecke von (0/0/0) zu (1/1/1)
>
>
> die Kurvenintegrale von [mm]\integral[/mm] v dx zu berechnen
>
>
> aufgabe [mm]a_{1}[/mm] war mir klar wie ich sie Lösen muss:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \vektor{3t^{3}-6t^{2} \\ 14t^{2}t^{2} \\ 20t^{3}t^{2}} * \vektor{3t^{2} \\ 2t \\ 1} dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{57t^{5}-18t^{4} dt}[/mm] = ...
>
> Doch wie berechne ich denn die anderen Integrale?
> Mir ist aufgefallen dass ich ja im Prinzip vom gleichen
> Startpunkt zum gleichen endpunkt Integriere bei 2 und 3
> jedoch über diverse Zwischenpunkte. Ich weiss nicht so ganz
> wie ich vorgehen soll.
Bei a2) hast Du 3 Wege, demnach benötigst Du für jeden Weg eine andere Parameterdarstellung.
[mm]C_{1}:\pmat{0 \\ 0 \\ 0} \to \pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
[mm]C_{2}:\pmat{0 \\ 1 \\ 0} \to \pmat{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
[mm]C_{3}:\pmat{0 \\ 1 \\ 1} \to \pmat{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Demnach ergibt sich:
[mm]\integral_{C_{1}}^{}{v \ dx}+\integral_{C_{2}}^{}{v \ dx}+ \integral_{C_{3}}^{}{v \ dx}[/mm]
Bei a3) hast Du nur 1 Weg, bis das Ziel erreicht wird. Daher auch nur eine Parameterdarstellung.
>
> Danke
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Mo 05.05.2008 | | Autor: | tobe |
Ich komme irgendwie nicht drauf, wie ich nun das vektorfeld nach t abhängig bekomme und die Integrationsgrenzen festlege.
Ich muss ja praktisch irgend wie eine Kurve festlegen über die ich integriere. Im Schritt 1 praktisch die Kurve von (0/0/0) Nach (0/1/0) mein "Kurve" wäre hier einfach eine Gerade? [mm] t\vektor{0\\1\\0} [/mm] ?
Wie schaut denn mein integrant aus?
kann ich sagen dass aus [mm] t\vektor{0\\1\\0} [/mm] folgt y=t
-> [mm] \integral_{0}^{1}{\vektor{3x-6t \\ 14tz^{2} \\ 20xz^{2}} * \vektor{0\\1\\0} dt} [/mm] ?
Danke Mathepower :D
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| Aufgabe | Vom Vektorfeld [mm] v=\vektor{3x-6y \\ 14yz^{2} \\ 20xz^{2}} [/mm] berechne man entlang der Kurven [mm] a_{1}, a_{1}, a_{3} [/mm] von (0/0/0) nach (1/1/1) mit
[mm] a_1 [/mm] : [mm] x=t^3 \quad y=t^2 \quad [/mm] z=t
[mm] a_2: [/mm] die strecke von (0/0/0) zu (0/1/0), dann zu (0/1/1) und schließlich zu (1/1/1)
[mm] a_{3}:die [/mm] Strecke von (0/0/0) zu (1/1/1)
die Kurvenintegrale von [mm] \integral [/mm] v dx zu berechnen (???)
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> Ich komme irgendwie nicht drauf, wie ich nun das vektorfeld
> nach t abhängig bekomme und die Integrationsgrenzen
> festlege.
> Ich muss ja praktisch irgend wie eine Kurve festlegen über
> die ich integriere. Im Schritt 1 praktisch die Kurve von
> (0/0/0) Nach (0/1/0) mein "Kurve" wäre hier einfach eine
> Gerade? [mm]t\vektor{0\\1\\0}[/mm] ?
Genauer: Strecke [mm]\vektor{x\\y\\z} = t*\vektor{0\\1\\0}[/mm] mit [mm] 0\le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
> Wie schaut denn mein integrant aus?
>
> kann ich sagen dass aus [mm]t\vektor{0\\1\\0}[/mm] folgt y=t
Aus [mm]\vektor{x\\y\\z} = t*\vektor{0\\1\\0}[/mm] folgt nicht nur y=t,
sondern auch noch x=0 und z=0 !
> -> [mm]\integral_{0}^{1}{\vektor{3x-6t \\ 14tz^{2} \\ 20xz^{2}} * \vektor{0\\1\\0} dt}[/mm]
> ?
-> [mm]\integral_{0}^{1}{\vektor{3*0-6*t \\ 14*t*0^{2} \\ 20*0*0^{2}} * \vektor{0\\1\\0} dt}[/mm]
Gruß al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mo 05.05.2008 | | Autor: | tobe |
Und wenn ich dann den 2. Schritt rechnen will, also von (0/1/0) nach (0/1/1) kann ich folgendes sagen?
[mm] \vektor{x\\y\\z}= \vektor {0\\1\\0}+t\vektor{0\\1\\1}
[/mm]
-> x=0 , y=1+t , z=t
-> [mm] \integral_{0}^{1}{\vektor{-6-t\\14(t+1)t^{2}\\0} \vektor {0\\1\\1} dt}
[/mm]
ach ja, ich habe eigentlich die Grenzen 0 und 1 einfach so mal angenommen. wie entstehen diese eigentlich?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Mo 05.05.2008 | | Autor: | taura |
Hallo tobe!
> Und wenn ich dann den 2. Schritt rechnen will, also von
> (0/1/0) nach (0/1/1) kann ich folgendes sagen?
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z}= \vektor {0\\1\\0}+t\vektor{0\\1\\1}[/mm]
Das stimmt so nicht ganz. Du willst ja die Strecke von [mm] $\vektor {0\\1\\0}$ [/mm] nach [mm] $\vektor{0\\1\\1}$, [/mm] also nimmst du [mm] $\vektor {0\\1\\0}$ [/mm] als Aufhängepunkt und [mm] $\vektor{0\\1\\1}-\vektor {0\\1\\0}$ [/mm] als Richtungsvektor.
> ach ja, ich habe eigentlich die Grenzen 0 und 1 einfach so
> mal angenommen. wie entstehen diese eigentlich?
Für t=0 bist du beim ersten Punkt, für t=1 beim zweiten (setz mal ein, dann siehst du's). Dazwischen erhälst du die Punkte auf der Geraden zwischen den beiden Punkten.
Hoffe das hilft dir 
Grüße taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mo 05.05.2008 | | Autor: | tobe |
Also für [mm] a_{2} [/mm] kann ich dann schreiben:
von (0/0/0) nach (0/1/0)
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}+t \vektor{0\\1\\0} [/mm] -> x=0 y=t z=0
[mm] \integral_{0}^{1}{\vektor{-6t\\0\\0} * \vektor{0\\1\\0} dt} [/mm] = 0
von (0/1/0) nach (0/1/1) kann ich schreiben:
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\1\\0} [/mm] + [mm] t\vektor {0\\0\\1} [/mm] -> x=0 y=1 z=t
[mm] \integral_{0}^{1}{\vektor{-6\\14t{2}\\0} * \vektor{0\\0\\1} dt}
[/mm]
von (0/1/1) nach (1/1/1)
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\1\\1}+t\vektor{1\\0\\0} [/mm] -> x=t y=1 z=1
[mm] \integral_{0}^{1}{\vektor{3t-6\\14\\20t} * \vektor{1\\0\\0} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{3t-6 dt} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - 6
---------------------
->
Kurvenintegral [mm] \integral_{a_{2}}{v dx}= \integral_{0}^{1}{\vektor{-6t\\0\\0} * \vektor{0\\1\\0} dt} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{\vektor{-6\\14t{2}\\0} * \vektor{0\\0\\1} dt}
[/mm]
[mm] +\integral_{0}^{1}{\vektor{3t-6\\14\\20t} * \vektor{1\\0\\0} dt} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - 6
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Hallo tobe,
> Also für [mm]a_{2}[/mm] kann ich dann schreiben:
>
> von (0/0/0) nach (0/1/0)
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}+t \vektor{0\\1\\0}[/mm] ->
> x=0 y=t z=0
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\vektor{-6t\\0\\0} * \vektor{0\\1\\0} dt}[/mm]
> = 0
>
> von (0/1/0) nach (0/1/1) kann ich schreiben:
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\1\\0}[/mm] + [mm]t\vektor {0\\0\\1}[/mm] ->
> x=0 y=1 z=t
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\vektor{-6\\14t{2}\\0} * \vektor{0\\0\\1} dt}[/mm]
>
> von (0/1/1) nach (1/1/1)
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\1\\1}+t\vektor{1\\0\\0}[/mm] -> x=t
> y=1 z=1
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\vektor{3t-6\\14\\20t} * \vektor{1\\0\\0} dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{3t-6 dt}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - 6
> ---------------------
>
> ->
>
> Kurvenintegral [mm]\integral_{a_{2}}{v dx}= \integral_{0}^{1}{\vektor{-6t\\0\\0} * \vektor{0\\1\\0} dt}[/mm]
> + [mm]\integral_{0}^{1}{\vektor{-6\\14t{2}\\0} * \vektor{0\\0\\1} dt}[/mm]
>
> [mm]+\integral_{0}^{1}{\vektor{3t-6\\14\\20t} * \vektor{1\\0\\0} dt}[/mm]
> = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - 6
>
Stimmt alles ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Mo 05.05.2008 | | Autor: | tobe |
Danke alle für die Erleuchtung :D
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