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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Di 21.02.2012 | | Autor: | Julian92 |
Hallo Leute,
ich sitze nun schon seit einiger Zeit an folgender Aufgabe:
Beweisen Sie: Für a > 0 besitzt eine Funktion Fa genau dann keine Nullstelle, wenn
a*e > 2 gilt. (Hierbei ist e die Euler?sche Zahl.)
Fa(x)= [mm] ln(x^2)+a/x [/mm] x>0
Mein Ansatz:
Zunächst einmal muss das globale Minimum der Funktion ja über der x-Achse liegen, damit die Funktion keine Nullstellen hat.
Globales Minimum ( [mm] a/2|ln((a^2)/4)+2)
[/mm]
Also: [mm] ln((a^2/4)+2)>0
[/mm]
Wenn ich nun die e-Funktion anwende erhalte ich: [mm] (a^2/4)+e^2>1.
[/mm]
Ich habe leider keine Idee wie ich nun auf a*e>2 komme.
Ich hoffe es kann mir jemand helfen :)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=483892
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Di 21.02.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo Leute,
>
> ich sitze nun schon seit einiger Zeit an folgender
> Aufgabe:
>
> Beweisen Sie: Für a > 0 besitzt eine Funktion Fa genau
> dann keine Nullstelle, wenn
> a*e > 2 gilt. (Hierbei ist e die Euler?sche Zahl.)
>
> Fa(x)= [mm]ln(x^2)+a/x[/mm] x>0
>
>
> Mein Ansatz:
> Zunächst einmal muss das globale Minimum der Funktion ja
> über der x-Achse liegen, damit die Funktion keine
> Nullstellen hat.
> Globales Minimum ( [mm]a/2|ln((a^2)/4)+2)[/mm]
> Also: [mm]ln((a^2/4)+2)>0[/mm]
> Wenn ich nun die e-Funktion anwende erhalte ich:
> [mm](a^2/4)+e^2>1.[/mm]
Hallo,
ich habe das alles nicht nachgerechnet.
Falls alles richtig ist, hast du also
[mm](\bruch{a}{2})^2+e^2<1[/mm]
Beidseitige Subtraktion von ae liefert
[mm](\bruch{a}{2})^2-ae+e^2<1-ae[/mm]
[mm](\bruch{a}{2}-e)^2<1-ae[/mm]
Das ist auf alle Fälle NICHT möglich, wenn 1-ae Null oder negativ ist.
Gruß Abakus
> Ich habe leider keine Idee wie ich nun auf a*e>2 komme.
>
> Ich hoffe es kann mir jemand helfen :)
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=483892
>
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Hallo Julian92,
> Hallo Leute,
>
> ich sitze nun schon seit einiger Zeit an folgender
> Aufgabe:
>
> Beweisen Sie: Für a > 0 besitzt eine Funktion Fa genau
> dann keine Nullstelle, wenn
> a*e > 2 gilt. (Hierbei ist e die Euler?sche Zahl.)
>
> Fa(x)= [mm]ln(x^2)+a/x[/mm] x>0
>
>
> Mein Ansatz:
> Zunächst einmal muss das globale Minimum der Funktion ja
> über der x-Achse liegen, damit die Funktion keine
> Nullstellen hat.
> Globales Minimum ( [mm]a/2|ln((a^2)/4)+2)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also: [mm]ln((a^2/4)+2)>0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier darfst du doch nicht einfach die 2 mit in den Logarithmus ziehen. Dein Extrempunkt hat nach wie vor die y-Kordinate [mm] ln((a^2)/4)+2[/mm].
Nun gelte [mm]a*e>2 \gdw a>\bruch{2}{e}[/mm]. Das setzt du in die y-Koordinate ein:
[mm] ln(a^2/4)+2 > ln((\bruch{2}{e})^2/4)+2 = ln(\bruch{1}{e^2})+2 = -2 * ln(e) + 2 = 0[/mm]. Du warst ziemlich dicht dran ;)
> Wenn ich nun die e-Funktion anwende erhalte ich:
> [mm](a^2/4)+e^2>1.[/mm]
> Ich habe leider keine Idee wie ich nun auf a*e>2 komme.
>
> Ich hoffe es kann mir jemand helfen :)
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=483892
>
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