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Hallo MatheForum!
Gerade bereite ich mich auf eine Mathearbeit vor (Thema: Kurvendiskussion und Funktionenscharen) und bin bisher auf ein paar Fragen gestoßen, die ihr mir vielleicht beantworten könnt.
1.
Wenn ich eine Funktion [mm] f_k [/mm] gegeben habe (z.B. [mm] f_k(x)=x^2+kx+k) [/mm] und die Aufgabe lautet "Zeichne die Kurvenschar mithilfe des Taschenrechners für k [mm] \in [/mm] {-2;-1;1;-2}" muss ich dann alle Parabeln aufzeichnen?
Ich weiß zwar, wie ich das in den GTR eingeben kann (mit den geschweiften Klammern und Kommas usw.), nur ist die Grafik ein bisschen unübersichtlich.
Wenn ich alle vier Parabeln zeichnen muss, dann wäre es wohl besser, wenn ich sie einzeln eingebe und mithilfe der Wertetabelle ins Heft übertrage, oder?
Wie würdet ihr das machen?
2.
Wie kann ich eine Linkskurve von einer Rechtskurve unterscheiden?
Ich weiß:
Bei einer LK ist f'(x) monoton steigend, also f''(x)>0.
Bei einer RK ist f'(x) monoton fallend, also f''(x)<0.
Das habe ich schon verstanden. Aber manchmal sind Funktionen gegeben, die ziemlich kompliziert sind. Und wenn dann gefragt ist: "In welchen Intervallen ist das Schaubild von f eine LK bzw. eine RK", kann ich das nur beantworten, wenn ich die Funktion in den GTR eingebe oder ihr Schaubild mühsam selbst skizziere, um dann ihren Verlauf auszuwerten und dann z.B. zu sagen
RK bei x<3 sowie 7<x<10
LK bei 3<x<7.
Meine Frage: Gibt es da die Möglichkeit, schneller drauf zu kommen?
z.B. bei der Funktion [mm] f(x)=x^5-30x^3?
[/mm]
3.
Ich habe es mir angewöhnt eine LK als nach oben geöffnete Parabel zu sehen und eine RK als eine nach unten geöffnete Parabel. Stimmt das?
4.
Eigentlich habe ich keine Probleme mit dem ermitteln von Nullstellen einer Funktion. Aber bei dieser hier schon:
[mm] f(x)=x^3+5x^2+3x-9
[/mm]
Wenn ich das jetzt null setze, kann ich weder ausklammern noch substituieren oder sonst was.
Wie kann ich in diesem Fall die Nullstellen errechnen?
5.
Diese Aufgabe verstehe ich nicht:
Gegeben ist die Funktion [mm] f_t(x)=0,5x(x^2-2tx+t^2)
[/mm]
Gefragt ist: "Ermittle die gemeinsamen Punkte von [mm] K_t [/mm] mit den Koordinatenachsen."
Die gemeinsamen Punkte mit der x-Achse sind natürlich die Nullstellen, die ich errechne, indem ich f(x)=0 setze.
Aber wie ermittle ich die Schnittpunkte mit der y-Achse?
So, das wären mal die Fragen von heute. Es sind doch einige... Ich hoffe, dass sich jemand finden lässt, der ein bisschen Geduld hat und sie kurz durchgeht.
Das wäre superlieb!!
LG Eli
Diese Frage habe ich in keinem anderen Inernetforum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 So 02.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Aloha!
1.
Jo, mach's mit Wertetabelle. Oder du versuchst die Funktion in die Scheitelpunktsform zu bringen, das das ja nur eine verschobene Normalparabel ist. Hast du das geschafft, kannst du deine Parabelschablone zücken (wenn du eine hast) und die in deinen 4 Scheitelpunkten ansetzen und einfach zeichnen, ganz ohne Wertetabelle.
2.
Richtig, wenn f''(x)>0 -> LK, bei f''(x)<0 -> RK.
Genau so kannst du das anwenden.
[mm] f(x)=x^5-30x³
[/mm]
[mm] f'(x)=5x^4-90x²
[/mm]
f''(x)=20x³-90x
Nun musst du gucken, wann f''(x) größer oder klener 0 ist. Dazu kannst du im einfachsten fall erstmal schauen, wann f''(x)=0 ist.
f''(x)=0
20x³-90x=0
x(20x²-90)=0
[mm] x_1=0
[/mm]
[mm] x_2=-2,12
[/mm]
[mm] x_3=2,12
[/mm]
(zu faul für die genauen Werte jetzt ;) ist ja eh nur ein Beispiel)
Dann hast du 3 Stellen, an denen die Krümmung wechselt. Also kannst du jetzt schauen, wie die krümmung vor -2,12 aussieht, wie sie zwischen -2,12 und 0 aussieht, wie sie zwischen 0 und 2,12 aussieht und wie sie nach 2,12 aussieht.
3.
Jup.
4.
Erstmal eine Nullstelle raten!
Probier es bei solchen Sachen immer mit Teilern des Absolutglieds, also (-)9 in dem Fall. Also [mm] \pm [/mm] 1, [mm] \pm [/mm] 3, [mm] \pm [/mm] 9. Wenn du eine gefunden hast, kannst du Polynomdivision durchführen.
Durch bloßes Hinsehen kann man schonmal [mm] x_1=1 [/mm] fest machen.
Also musst du nun [mm] (x^3+5x^2+3x-9):(x-1) [/mm] berechnen und die Nullstellen der entstehenden Funktion wirst du dann einfacher finden.
5.
Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen ist sogar noch einfacher als Nullstellen zu berechnen ;)
Beim Schnittpunkt mit der x-Achse gilt ja: y=0.
Beim Schnittpunkt mit der y-Achse gilt dann was?
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Lass mich mal schwer Raten, da gilt dann x=0!
In diesem Fall gibt es keinen Schnittpunkt mit der y-Achse, oder?
Vielen Dank für deine Hilfe!
Das war sehr schön erklärt!
LG Eli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 So 02.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem :P
Doch, du musst nur für x überall 0 einsetzen und schon steht der y-Achsenabschnitt da.
[mm] S_y(0|0) [/mm] bei deiner Funktion!
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Stimmt, du hast natürlich recht!
LG Eli
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