L-stetig - glm. konvergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm](f_n)_{n\in N}[/mm] eine punktweise konvergente Funktionenfolge auf einem beschränkten Intervall und jedes Glied davon und die Grenzf. seien lipschitz-stetig mit einer gemeinsamen l-Konstanten L.Zeigen sie dass [mm] f_n [/mm] auch gleichmäßig konvergiert. |
Hi,
mein Ansatz ist:
[mm]|f_n(y)-f(y)|\le|f_n(y)-f_n(x)|+|f(x)-f(y)+|f_n(x)-f(x)|<2L|x-y|+\frac{\epsilon}{2}\quad \forall n\ge n_0[/mm]
->[mm]|f_n(y)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\quad \forall n\ge n_0 \wedge |x-y|\le\frac{\epsilon}{4L}[/mm]
Ich könnte nun jeden x so ein Intervall[mm] |x-y|\le\frac{\epsilon}{4L}[/mm] zuordnen, sodass die Gesamtheit der Intervalle eine abgeschlossene Überdeckung des beschränkten Intervalls bilden. Wenn diese dann auch endlich ist( Ist sie das?) kann ich ja das Maximum N der [mm] "n_0" [/mm] nehmen und so habe ich dann die glm. Konvergenz.Stimmt das soweit oder muss ich einen anderen Ansatz wählen?Würdet ihr mir in diesem Falle einen kleinen Tipp geben?
Vielen Dank für evt. Hilfe!
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> dann die glm. Konvergenz.Stimmt das soweit oder muss ich
> einen anderen Ansatz wählen?Würdet ihr mir in diesem
> Falle einen kleinen Tipp geben?
Die Idee und Ausführung sind richtig, aber ich denke wir sollten uns die Reihenfolge nochmal anschauen, dann wird denk ich auch Deine Frage klar:
1. Uns wird ein [mm] $\epsilon$ [/mm] vorgegeben, das wir überall einhalten sollen.
2. Wir unterteilen das Intervall in Stücke der Breite [mm] $\frac{\epsilon}{4L}$, [/mm] mit den x jeweils in der Mitte der Stücke. Da das Intervall beschränkt ist und eine feste Breite hat, sind das automatisch endlich viele.*
3. Wir wählen das [mm] $n_0$ [/mm] passend wie von Dir beschrieben.
4. Daraus folgt dann durch Deine Ungleichungskette, daß [mm] $|f_n(y)-f(y)|<\epsilon$ $\forall y,\, \forall n\geq n_0$.
[/mm]
*: man könnte die Stücke sogar breiter machen, bis zu [mm] $2*\frac{\epsilon}{4L}$ [/mm] Aber dann könnte es je nach Definition der verschiedenen Stetigkeiten mit [mm] $\leq$ [/mm] und $<$ Problemchen geben, und es kostet uns ja nichts, hier schmalere zu wählen. =)
ciao
Stefan
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