LA. matrizen, gauß, bilder < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:34 Di 16.11.2004 | | Autor: | Tim |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
morgen- habe folgendes problemchen:
zeige mit hilfe des gaußalg dass für jede matrix A [mm] \in \IR(mxn) [/mm] eine matrix C [mm] \in \IR(dxm) [/mm] (für jedes d [mm] \in \IN) [/mm] mit folgender eigenschaft exist:
b [mm] \in \IR(mx1) [/mm] ist genau dann in bild( [mm] \overline{A}) [/mm] wenn Cb=0 ist.
Bestimme eine solche bildtest-matrix C für:
.........................................
...........................(eine matrix)4x5..............
was genau muss ich hier machen. was genau ist ncochmal das bild einer matrix??
gruß tim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Di 16.11.2004 | | Autor: | baskolii |
Hi!
Soweit ich weiß:
[mm] b\in Bild(A)\gdw \exists x\in\IR(n\times1):b=Ax
[/mm]
mfg Verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Tim!
Ohne Einschränkung können wir davon ausgehen, dass die $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix den Rang $n$ hat und $n [mm] \le [/mm] m$ gilt. Wir interessieren uns jetzt dafür, ob ein beliebig vorgegebener Vektor $b [mm] \in \IR^m$ [/mm] im Bild von $A$ liegt.
Nach dem Gauß-Algorithmus gibt es eine [mm] $n\times [/mm] m$-Matrix $B$ mit
$BA = [mm] E_n$.
[/mm]
(Man nennt $B$ dann eine Pseudo-Inverse.)
Ich behaupte jetzt, dass $b [mm] \in \IR^m$ [/mm] genau dann im Bild von $A$ liegt, wenn $b$ im Kern von $AB - [mm] E_n$ [/mm] liegt.
Ist $u$ eine Lösung von $Ax=b$ (d.h. liegt $b$ im Bild von $A$), gilt also $Au=b$, dann folgt:
$ABb=AB(Au) = (ABA)u = [mm] (AE_n)u [/mm] = Au = b$,
also:
[mm] $(AB-E_n)b=0$.
[/mm]
Umgekehrt gelte $ABb=b$. Dann ist offenbar $Bb [mm] \in \IR^n$ [/mm] eine Lösung von $Ax=b$ (d.h. es gilt $b [mm] \in [/mm] Bild(A)$).
Liebe Grüße
Stefan
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