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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:24 So 23.05.2010 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Man löse in [mm] (\IZ_{13},+,\cdot{}) [/mm] das angegebene lineare Gleichungssystem.
x + y - z = 3
2x + z = 5
x + y + 3z = 1 |
Hallo,
ich habe das ganze mal etwas übersichtlicher aufgeschrieben (letzte Spalte = Ergebnisspalte):
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & 3\\
2 & 0 & 1 & 5\\
1 & 1 & 3 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
Ich muss doch die ganze Zeit modulo 13 rechnen. So habe ich weitergemacht:
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 12 & 3\\
2 & 0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 4 & 11
\end{bmatrix}
[/mm]
4z = 11 -> z = [mm] \bruch{11}{4}
[/mm]
2x+ [mm] \bruch{11}{4} [/mm] = 5 -> x = [mm] \bruch{9}{8}
[/mm]
[mm] \bruch{9}{8} [/mm] + y - [mm] \bruch{11}{4} [/mm] = 3 -> y = [mm] \bruch{37}{8}
[/mm]
Würde das so stimmen? Oder muss ich noch was beachten? Das Gleichungssystem löse ich doch wie gehabt, nur das jedesmal geprüft wird zwecks modulo 13.
Gruß
itse
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Hallo itse,
Deine Rechnung ist richtig. Damit lässt sich die Lösung so darstellen:
$x = [mm] \frac{9+ 13\mathbb{Z}}{8+ 13\mathbb{Z}}$, [/mm] $y= [mm] \frac{37+ 13\mathbb{Z}}{8+ 13\mathbb{Z}}$, [/mm] $z = [mm] \frac{11+ 13\mathbb{Z}}{4+ 13\mathbb{Z}}$
[/mm]
Nimmt man Repräsentanten aus der Menge [mm] $\{-6,\ldots, 6\}$, [/mm] so sieht die Lösung einfacher aus:
$x = 6 + [mm] 13\mathbb{Z}$, [/mm] $y = 3 + [mm] 13\mathbb{Z}$, [/mm] $z = 6 + [mm] 13\mathbb{Z}$
[/mm]
Du solltest Dir vielleich überlegen, ob beispielsweise $(4 + [mm] 13\mathbb{Z})^{-1}$ [/mm] in [mm] $\mathbb{Z}_{13}$ [/mm] definiert ist, und was gegebenenfalls der Repräsentant in [mm] $\{-6,\ldots, 6\}$ [/mm] oder in [mm] $\{0,\ldots, 12\}$ [/mm] ist. Was ist der Repräsentant von [mm] $(-3+13\mathbb{Z})\cdot (4+13\mathbb{Z})$ [/mm] in der Menge [mm] $\{0,\ldots,12\}$?
[/mm]
Gruß mathfunnel
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