LGS lösen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Di 06.02.2007 | | Autor: | megahead |
| Aufgabe | Gegeben sei das LGS:
[mm] x_1 -4x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 0
[mm] 2x_1 -3x_2 -x_3 -5x_4 [/mm] = 5
[mm] 3x_1 [/mm] - [mm] 7x_2 [/mm] + [mm] x_3 -5x_4 [/mm] = a
[mm] x_2 -x_3 -x_4 [/mm] = 1
a) Wie groß ist der Rang der Koeffizientenmatrix?
b) Für welche Wert der Parameters a ist das Gleichungssystem lösbar?
c) Wie lautet die vollständige Lösung des Systems für diesen Wert von a? |
Hi, also bei a) denke ich das der rang 4 ist!?
aber ich hab absolut keinen Plan wie ich b) und c) löse.
Kann mir das einer ausführlich erklären?
Dieses mal ist es total dringend....
Bitte helft mir...
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Hallo,
deine Koeffizientenmatrix sieht ja wie folgt aus:
[mm] \vmat{ 1 & -4 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & -1 & -5 & 5 \\ 3 & -7 & 1 & -5 & a \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1}
[/mm]
den Rang ermittelst du, indem du die Anzahl der Zeilenvektoren bestimmst, die ungleich Null sind, benutze das Gaußsche Eliminationsverfahren, beginne z. B. indem du eine neue 1. Zeile bildest: 2. Zeil minus 2 mal 1. Zeile:
[mm] \vmat{ 0 & 5 & -5 & -5 & 5 \\ 2 & -3 & -1 & -5 & 5 \\ 3 & -7 & 1 & -5 & a \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1}
[/mm]
jetzt bilde aus der 2. und 3. Zeile eine neue zweite Zeile, so dass in der 1. Spalte der neuen 2. Zeile eine 0 steht,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Di 06.02.2007 | | Autor: | megahead |
hmmm... irgendwie weiß ich jetzt immer noch nicht wie ich den Wert für a bekomme..
Kann mir das einer mal genau erklären?
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 15:13 Di 06.02.2007 | | Autor: | blascowitz |
Guten Tach. Also gegeben ist eine erweiterte KoeffizientenMatrix
Erstmal zu a) Den Rang einer Matrix bestimmt man, indem man die Matrix durch zeilentransformationen (Addieren von vielfachen einer zeile zu einer anderen, Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar, Vertauschen von Zeilen) in Stufenform bringt und dann die nichtnullzeilen zählt. Ich hoffe ihr hattet das schon mal. Ansonsten hier die Erklärung: Eine Matrix hat Stufenform genau dann, wenn alle Nullzeilen unten in der Matrix stehen und wenn der erste Eintrag ungleich 0 in der i+1 Zeile weiter rechts stehts als in der i-ten Zeile. Verstanden. Also bringen wir die Koeffizientenmatrix auf Stufenform
$ [mm] \vmat{ 1 & -4 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & -1 & -5 \\ 3 & -7 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & -1} [/mm] $
jetzt muss also der erste Nichtnulleintrag in der zweiten(also der i+1 zeile) weiter rechts stehen als in der ersten(i-ten Zeile). Also muss der jeweils erste Eintrag in der zweiten und in der dritten Zeile null werden(der erste Eintrag in der vierten Zeile ist ja schon null). Um dort eine Null hinzubekommen nutzen wir Zeilentransformationen, den dadurch ändert sich der Rang nicht!. Ich ziehe zweimal die erste von der zweiten und dreimal die erste von der dritten Zeile ab und erhalte dann folgende Matrix
$ [mm] \vmat{ 1 & -4 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & -1} [/mm] $
Jetzt siehst du, dass dort 3 mal die gleiche Zeile steht(zweimal halt nur mit 5 multipliziert) Wenn ich jetzt wieder Zeilentransformationen anwende, bekomme ich zwei Nullzeilen in die Matrix( einfach die zweite und vierte Zeile vertauschen, dann 5 mal die zweite von der dritten und vierten abziehen) Damit ist der rang der Matrix = ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 06.02.2007 | | Autor: | megahead |
Danke für die Antwort.
der Rang ist also 2.
Aber wie komme ich jetzt auf den gesuchten Wert von "a"?
Wär nett wenn mir einer helfen könnte!
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Und weiter gehts.
Nun geht es um der Wert von a
Es gilt: Ein Gleichungssytem ist genau dann lösbar, wenn der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix genau dem Rang der Koeffizientenmatrix entspricht. Also nehmen wir uns jetzt mal die erweiterte Koeffizientenmatrix vor
$ [mm] \vmat{ 1 & -4 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & -1 & -5 & 5 \\ 3 & -7 & 1 & -5 & a \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1} [/mm] $
Nun wollen wir den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix bestimmen. Dazu müssen wir die Matrix wieder in Stufenform bringen.
$ [mm] \vmat{ 1 & -4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & -5 & -5 & 5 \\ 0 & 5 & -5 & -5 & a \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1} [/mm] $
Nun schau dir mal die zweite und die Dritte zeile an, [mm] x_{2}, x_{3} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] stehen die selben koeffizienten. Damit sich hier kein Widerspruch ergibt muss a ? sein. Ich hoffe du siehst das. Wenn das nicht so offensichtlich ist, gehst du folgendermaßen vor: Du Vertauscht wieder 2 und vierte Zeile und ziehst dann fünf mal die zweite von der dritten und vierten zeile ab. Dann steht dort folgende Matrix
$ [mm] \vmat{ 1 & -4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a - 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] $
Damit der Rang der Koeffizientenmatrix nicht kleiner ist als der der Erweiterten Koeffizientenmatrix muss a ? sein. Die Lösungsmenge mit dem Entsprechenden a bekommst du hoffentlich alleine hin, es ist eine zweiparametrige Lösung.
Ich hoffe ich konnte helfen
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