LGS mit unendlich vielen Lsgn. < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mo 14.06.2010 | | Autor: | IchundDu |
| Aufgabe | Löse das folgende LGS mit dem Gauss-Verfahren:
[mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] + [mm] 9x_4 [/mm] = -4
[mm] 2x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] 5x_4 [/mm] = 4
[mm] 3x_1 [/mm] - [mm] 7x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] + [mm] 4x_4 [/mm] = 13
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 5x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] 5x_4 [/mm] = -3 |
Die Lösung soll hier in Spaltenvektoren angegeben werden und das soll rauskommen:
[mm] \vec x [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] t_1\begin{pmatrix} \ -\bruch{5}{2} \\ -\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] t_2 \begin{pmatrix} -0,5 \\ -0,5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Wie ich ein LGS löse ist mir klar, allerdings hab ich absolut keine Ahnung davon wie ich diese Lösungsform erstelle. Ich hab mal irgendwo etwas gelesen von allgemeinen Lösungsvektoren und speziellen Lösungsvektoren. Ich denke, das das mich weiterführen wird. Aber ich weis nur nicht wie.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Moin,
> Löse das folgende LGS mit dem Gauss-Verfahren:
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> [mm]2x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] + [mm]5x_3[/mm] + [mm]9x_4[/mm] = -4
> [mm]2x_1[/mm] + [mm]x_3[/mm] + [mm]5x_4[/mm] = 4
> [mm]3x_1[/mm] - [mm]7x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm] + [mm]4x_4[/mm] = 13
> [mm]x_1[/mm] + [mm]5x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] + [mm]5x_4[/mm] = -3
> Die Lösung soll hier in Spaltenvektoren angegeben werden
Zeig doch mal, was du bisher gerechnet hast bzw. wie weit du gekommen bist. Welche Gleichungen bleiben bei Dir am Ende übrig?
Du wirst dann, evtl. mit kurzen Hinweisen, schnell sehen, warum $\ [mm] t_1, t_2 [/mm] $ frei wählbare Variablen sind.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mo 14.06.2010 | | Autor: | IchundDu |
Also nach Gauß entsteht folgendes:
[mm] \begin{bmatrix}
2 & 3 & 5 & 9 \\
2 & 0 & 1 & 5 \\
3 & -7 & -2 & 4 \\
1 & 5 & 3 & 5
\end{bmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_5 \\ x_4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 13 \\ -3 \end{pmatrix}
[/mm]
Wenn ich jetzt von Zeile 2 einmal Zeile 1 abziehe
und von Zeile 3 1,5mal Zeile 1 und von Zeile 4 0,5mal Zeile 1 entsteht:
[mm] \begin{bmatrix}
-3 & -4 & -4 \\
-11,5 & -9,5 & -9,5 \\
3,5 & 0,5 & 0,5
\end{bmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ 19 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Nun geht es weiter mit - [mm] \bruch{23}{6}mal [/mm] Zeile 1 von Zeile 2 abziehen und [mm] +\bruch{7}{6}mal [/mm] Zeile 1 von Zeile 3 abziehen. Es entsteht:
[mm] \begin{bmatrix}
\bruch{35}{6} & \bruch{35}{6}\\
-\bruch{25}{6} & -\bruch{25}{6}
\end{bmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} - \bruch{35}{3}\\ \bruch{25}{3} \end{pmatrix}
[/mm]
wenn beide Zeilen mit 6 Multiplizert werden erhalten wir:
[mm] 35x_3 [/mm] + [mm] 35x_4 [/mm] = -70
[mm] -25x_3 [/mm] - [mm] 25x_4 [/mm] = 50
Diese beiden Zeilen sind linear abhängig voneinander. Das wiederum sollte bedeuten, dass ich für [mm] x_3 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] und für [mm] x_4 [/mm] = [mm] \mu [/mm] setzten kann.
Und jetzt könnte ich alles auflösen aber das bringt mich nicht wirklich zu dieser Lösungsvektorenform oder?
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Hallo IchundDu, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich habs nicht nachgerechnet, aber wenn Du am Ende zwei Variablen frei wählen kannst, dann kommst Du auch auf die geforderte Lösungform. Im Prinzip könntest Du statt [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] auch gleich [mm] t_1, t_2 [/mm] verwenden, fragt sich nur, in welcher Zuordnung.
Probiers doch mal.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 14.06.2010 | | Autor: | IchundDu |
DANKE 
Aber genau da hängts ja.
Also ich würde die Lösung wie folgt darstellen:
nach einsetzen der Werte für [mm] x_3 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] und [mm] x_4 [/mm] = [mm] \mu [/mm] ergibt sich:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] -\lambda [/mm] - [mm] \mu [/mm] + 9
[mm] x_2 [/mm] = [mm] -\bruch{4}{3}\lambda -\bruch{4}{3}\mu [/mm] + [mm] \bruch{8}{3}
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
allerdings hab ich gerade das hier gefunden:
Es gilt: [mm] \vec x_a [/mm] = [mm] \vec x_h [/mm] + [mm] \vec x_s [/mm]
mit
[mm] \vec x_a [/mm] = allgemeiner Vektor des inhomogenen Systems
[mm] \vec x_h [/mm] = allgemeiner Lösungsvektor des zugehörigen homogenen Systems
[mm] \vec x_s [/mm] = ein spezieller Lösungsvektor des inhomogenen Systems
Jetzt bin ich komplett verwirrt.
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Hi,
> DANKE
>
> Aber genau da hängts ja.
>
> Also ich würde die Lösung wie folgt darstellen:
> nach einsetzen der Werte für [mm]x_3[/mm] = [mm]\lambda[/mm] und [mm]x_4[/mm] = [mm]\mu[/mm]
> ergibt sich:
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]-\lambda[/mm] - [mm]\mu[/mm] + 9
> [mm]x_2[/mm] = [mm]-\bruch{4}{3}\lambda -\bruch{4}{3}\mu[/mm] +
> [mm]\bruch{8}{3}[/mm]
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
> [mm]x_4[/mm] = [mm]\mu[/mm]
das ist doch schon sehr gut. Ich setze die Richtigkeit deiner Ergebnisse nun einfach mal voraus.
Das Ergebnis ist doch ein Spaltenvektor.
Also: [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \vektor{-\lambda - \mu +9 \\ -\bruch{4}{3}\lambda -\bruch{4}{3}\mu+
\bruch{8}{3} \\ \lambda \\ \mu} [/mm] = [mm] \vektor{-\lambda \\ -\bruch{4}{3}\lambda \\ \lambda \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{-\mu \\ -\bruch{4}{3}\mu \\ 0 \\ \mu} [/mm] + [mm] \vektor{+9 \\ \bruch{8}{3} \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \lambda\vektor{-1 \\ -\bruch{4}{3} \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-1 \\ -\bruch{4}{3} \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{+9 \\ \bruch{8}{3} \\ 0 \\ 0} [/mm]
>
> allerdings hab ich gerade das hier gefunden:
>
> Es gilt: [mm]\vec x_a[/mm] = [mm]\vec x_h[/mm] + [mm]\vec x_s[/mm]
>
> mit
> [mm]\vec x_a[/mm] = allgemeiner Vektor des inhomogenen Systems
> [mm]\vec x_h[/mm] = allgemeiner Lösungsvektor des zugehörigen
> homogenen Systems
> [mm]\vec x_s[/mm] = ein spezieller Lösungsvektor des inhomogenen
> Systems
>
> Jetzt bin ich komplett verwirrt.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mo 14.06.2010 | | Autor: | IchundDu |
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> >
> > allerdings hab ich gerade das hier gefunden:
> >
> > Es gilt: [mm]\vec x_a[/mm] = [mm]\vec x_h[/mm] + [mm]\vec x_s[/mm]
> >
> > mit
> > [mm]\vec x_a[/mm] = allgemeiner Vektor des inhomogenen Systems
> > [mm]\vec x_h[/mm] = allgemeiner Lösungsvektor des zugehörigen
> > homogenen Systems
> > [mm]\vec x_s[/mm] = ein spezieller Lösungsvektor des
> inhomogenen
> > Systems
> >
> > Jetzt bin ich komplett verwirrt.
also hat der Teil nix mit der Lösung zu tun? Hatte heute mit meinem Matheprof geredet un der meinte genau das was ich oben geschrieben habe. Muss mich allerdings irgendwo verrechnet haben obwohl ich jetzt nach dem 5ten mal rechnen keinen Fehler finden kann :-(
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Hallo IchundDu,
> >
> > >
> > > allerdings hab ich gerade das hier gefunden:
> > >
> > > Es gilt: [mm]\vec x_a[/mm] = [mm]\vec x_h[/mm] + [mm]\vec x_s[/mm]
> > >
> > > mit
> > > [mm]\vec x_a[/mm] = allgemeiner Vektor des inhomogenen Systems
> > > [mm]\vec x_h[/mm] = allgemeiner Lösungsvektor des
> zugehörigen
> > > homogenen Systems
> > > [mm]\vec x_s[/mm] = ein spezieller Lösungsvektor des
> > inhomogenen
> > > Systems
> > >
> > > Jetzt bin ich komplett verwirrt.
>
> also hat der Teil nix mit der Lösung zu tun? Hatte heute
> mit meinem Matheprof geredet un der meinte genau das was
> ich oben geschrieben habe. Muss mich allerdings irgendwo
> verrechnet haben obwohl ich jetzt nach dem 5ten mal rechnen
> keinen Fehler finden kann :-(
Nach dem Einsetzen der vorgegebenen Lösungen,
komme ich zu dem Schluss, daß die erste Zeile des LGS
nicht ganz korrekt ist.
Eventuell hast Du Dich hier beim Abschreiben vertan.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mo 14.06.2010 | | Autor: | IchundDu |
Ich hab nochmal eine ähnliche Aufgaben gerechnet und bin auf einen verblüffenden Zusammenhang gestoßen:
Gegeben ist ein LGS:
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & -1 \\
2 & -1 & 1 & -1 \\
3 & 1 & 2
& 1 \\
-2 & -4 & 2 & 2\end{bmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt Gauss:
2. Zeile - 2* 1. Zeile
3. Zeile - 3* 1. Zeile
4. Zeile +2* 1.Zeile
Daraus entsteht:
[mm] \begin{bmatrix}
-5 & 3 & 1 \\
-5 & 5 & 4 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 7 \\ 13 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Und wieder:
2. Zeile -1mal 1te Zeile:
[mm] 2x_3 [/mm] + [mm] 3x_4 [/mm] = 6
Jetzt: [mm] x_4 [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Einsetzten:
[mm] 2x_3 [/mm] + [mm] 3x_4 [/mm] = 6
[mm] x_3 [/mm] = 3 - [mm] \bruch{3}{2}\lambda
[/mm]
[mm] -5x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] x_4= [/mm] 7
einsetzten:
[mm] -5x_2 [/mm] + 3 ( 3 - [mm] \bruch{3}{2}\lambda [/mm] )+ [mm] \lambda [/mm] = 7
auflösen nach [mm] x_2
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{5} [/mm] - [mm] \bruch{11}{10}\lambda
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 -x_3 [/mm] - [mm] x_4 [/mm] = -3
einsetzten:
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2(\bruch{2}{5} [/mm] - [mm] \bruch{11}{10}\lambda) [/mm] - ( 3 - [mm] \bruch{3}{2}\lambda) [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = -3
auflösen nach [mm] x_1:
[/mm]
[mm] x_1= [/mm] - [mm] \bruch{4}{5} [/mm] + [mm] \bruch{17}{10}\lambda
[/mm]
also:
[mm] \vec x [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} - \bruch{4}{5} \\ \bruch{2}{5} \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ \lambda* \begin{pmatrix} \bruch{17}{10} \\ \bruch{11}{10} \\ - \bruch{3}{2} \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Das ist laut meinem Prof falsch, denn erhat den folgenden Lösungsvektor:
[mm] \vec x [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} - \bruch{4}{5} \\ \bruch{2}{5} \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t_1* \begin{pmatrix} \bruch{9}{10} \\ \bruch{7}{10} \\ - \bruch{3}{2} \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Der vordere Lösungsvektor stimmt also aber der hintere nicht. Allerdings habe ich gerade herausgefunden dass der hintere Lösungsvektor entsteht, wenn ich einfach den Ergebnisvektor des LGS Null setzte. Also statt (-3, 1, 4, 6 [mm] )^T [/mm] einfach (0, 0, 0, [mm] 0)^T [/mm] nehme.
Warum? Ich bin verwirrt.
Also schein ich es jetzt so zu haben wie mein Prof es will, aber wieso löst man ein LGS damit weis das jemand? Oder ist meine Überlegung purer Zufall? Wobei damit > >
> > >
> > > allerdings hab ich gerade das hier gefunden:
> > >
> > > Es gilt: [mm]\vec x_a[/mm] = [mm]\vec x_h[/mm] + [mm]\vec x_s[/mm]
> > >
> > > mit
> > > [mm]\vec x_a[/mm] = allgemeiner Vektor des inhomogenen Systems
> > > [mm]\vec x_h[/mm] = allgemeiner Lösungsvektor des
> zugehörigen
> > > homogenen Systems
> > > [mm]\vec x_s[/mm] = ein spezieller Lösungsvektor des >inhomogenen Systems
> > >
ergibt es teilweise einen Sinn oder?
Grüße
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Hallo IchundDu,
> Ich hab nochmal eine ähnliche Aufgaben gerechnet und bin
> auf einen verblüffenden Zusammenhang gestoßen:
>
> Gegeben ist ein LGS:
>
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & -1 \\
2 & -1 & 1 & -1 \\
3 & 1 & 2
& 1 \\
-2 & -4 & 2 & 2\end{bmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt Gauss:
>
> 2. Zeile - 2* 1. Zeile
> 3. Zeile - 3* 1. Zeile
> 4. Zeile +2* 1.Zeile
>
> Daraus entsteht:
>
> [mm]\begin{bmatrix}
-5 & 3 & 1 \\
-5 & 5 & 4 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 7 \\ 13 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Und wieder:
>
> 2. Zeile -1mal 1te Zeile:
>
> [mm]2x_3[/mm] + [mm]3x_4[/mm] = 6
>
> Jetzt: [mm]x_4[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> Einsetzten:
>
> [mm]2x_3[/mm] + [mm]3x_4[/mm] = 6
> [mm]x_3[/mm] = 3 - [mm]\bruch{3}{2}\lambda[/mm]
>
> [mm]-5x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] + [mm]x_4=[/mm] 7
> einsetzten:
> [mm]-5x_2[/mm] + 3 ( 3 - [mm]\bruch{3}{2}\lambda[/mm] )+ [mm]\lambda[/mm] = 7
> auflösen nach [mm]x_2[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{2}{5}[/mm] - [mm]\bruch{11}{10}\lambda[/mm]
>
Bei der Auflösung nach [mm]x_{2}[/mm] ist ein Fehler passiert:
[mm]3*\left(-1\right)\bruch{3}{2}*\lambda + \lambda = -\bruch{7}{2}\lambda \not= \bruch{11}{2}\lambda[/mm]
> [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2 -x_3[/mm] - [mm]x_4[/mm] = -3
> einsetzten:
> [mm]x_1[/mm] + [mm]2(\bruch{2}{5}[/mm] - [mm]\bruch{11}{10}\lambda)[/mm] - ( 3 -
> [mm]\bruch{3}{2}\lambda)[/mm] - [mm]\lambda[/mm] = -3
> auflösen nach [mm]x_1:[/mm]
> [mm]x_1=[/mm] - [mm]\bruch{4}{5}[/mm] + [mm]\bruch{17}{10}\lambda[/mm]
>
> also:
>
> [mm]\vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} - \bruch{4}{5} \\ \bruch{2}{5} \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ \lambda* \begin{pmatrix} \bruch{17}{10} \\ \bruch{11}{10} \\ - \bruch{3}{2} \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das ist laut meinem Prof falsch, denn erhat den folgenden
> Lösungsvektor:
>
> [mm]\vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} - \bruch{4}{5} \\ \bruch{2}{5} \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t_1* \begin{pmatrix} \bruch{9}{10} \\ \bruch{7}{10} \\ - \bruch{3}{2} \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Der vordere Lösungsvektor stimmt also aber der hintere
> nicht. Allerdings habe ich gerade herausgefunden dass der
> hintere Lösungsvektor entsteht, wenn ich einfach den
> Ergebnisvektor des LGS Null setzte. Also statt (-3, 1, 4, 6
> [mm])^T[/mm] einfach (0, 0, 0, [mm]0)^T[/mm] nehme.
>
> Warum? Ich bin verwirrt.
>
> Also schein ich es jetzt so zu haben wie mein Prof es will,
> aber wieso löst man ein LGS damit weis das jemand? Oder
> ist meine Überlegung purer Zufall? Wobei damit > >
> > > >
> > > > allerdings hab ich gerade das hier gefunden:
> > > >
> > > > Es gilt: [mm]\vec x_a[/mm] = [mm]\vec x_h[/mm] + [mm]\vec x_s[/mm]
> > > >
> > > > mit
> > > > [mm]\vec x_a[/mm] = allgemeiner Vektor des inhomogenen Systems
> > > > [mm]\vec x_h[/mm] = allgemeiner Lösungsvektor des
> > zugehörigen
> > > > homogenen Systems
> > > > [mm]\vec x_s[/mm] = ein spezieller Lösungsvektor des
> >inhomogenen Systems
> > > >
> ergibt es teilweise einen Sinn oder?
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Di 15.06.2010 | | Autor: | IchundDu |
Also wenn ich die Gleichung für [mm] x_2 [/mm] auflöse komme ich jedesmal auf die Lösung:
[mm] x_2 [/mm] = [mm]\bruch{2}{5}[/mm] + [mm]\bruch{11}{10}[/mm] [mm] \lambda
[/mm]
Sehe da keinen Fehler. Egal wie ich es drehe und wende.
Also ich setzte für [mm] x_4 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] und [mm] x_3 [/mm] = 3 - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] [mm] \lambda
[/mm]
und das setzte ich in die Gleichung für [mm] x_2 [/mm] ein:
-5 [mm] x_2 [/mm] + 3 [mm] x_3 [/mm] + 4 [mm] x_4 [/mm] = 7 und wenn ich das ausrechne komm ich hin. Aber was ist mit dem der Art der Lösungsangabe. Kann mir jemand sagen wieso man das so angibt? Das schnall ich nicht. Damit macht man sich doch nur doppelte Arbeit. Erst muss man das LGS normal nach Gauss lösen als inhomogenes System und dann nochmal als homogenes? Unverständlich! Kennt das jemand oder ist das nur eine Laune von meinem Prof?
Grüße
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Hallo!
Vielleicht kann ich etwas zum besseren Verständnis beitragen: Ein vorgegebenes LGS kann prinzipiell entweder homogen oder inhomogen sein. Du kannst das LGS in beiden Fällen mit Gauß lösen, nur sehen eben die Matrizen, an denen du deine Umformungen durchführst, etwas unterschiedlich aus:
Hast du ein homogenes LGS vorgegeben, so wende das Gaußsche Eliminationsverfahren "direkt" auf die gegebene ("Koeffizienten"-)Matrix an. Du erhältst dann die Lösung des homogenen LGS, und somit des gesamten LGS (da ja ein homogenes LGS gegeben war!). In der Regel kommen in dieser Lösung Skalare wie eben z.B. [mm] \lambda [/mm] vor, dazu aber später.
Nun haben wir noch den zweiten Fall: Sei das vorgegebene LGS inhomogen. Du kannst selbstverständlich wiederum Gauß verwenden, allerdings ist die Matrix, an der du deine Umformungen durchführst, die sog. erweiterte Matrix (A,b), wobei A*x=b das vorgegebene inhomogene LGS sein soll. Unter der erweiterten Matrix (A,b) versteht man die Matrix A, bei der rechts von der letzten Spalte einfach der Vektor b "dazugeschrieben" wird (falls du das alles schon weißt, kannst du da auch drüberlesen, ich wollte es nur noch einmal vollständig schildern, damit es klarer wird!).
Nach erfolgreicher Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens erhältst du dann eine Lösung des LGS, die folgende Gestalt hat:
[mm] L=\{\underbrace{\lambda*\vec{v_{1}}+\mu*\vec{v_{2}}+...}_{=Lsg. des homogenen LGS} + \underbrace{\vec{b'}}_{=partikuläre Lsg.}:\lambda,\mu,... \in K\}
[/mm]
(die Notation mit "..." ist vielleicht nicht so schön, da es in der Regel eine endliche Anzahl von Vektoren ist, ich bitte, das zu verzeihen!)
Bemerkung: [mm] \vec{b'} [/mm] ist gerade jener Vektor, der "ganz rechts" in der Matrix steht, also gewissermaßen der "verwandelte" Vektor [mm] \vec{b}. [/mm]
Du siehst also: Du musst dann nicht mehr extra ein homogenes LGS lösen oder sonst irgendwas, sondern diese Menge L ist bereits die "Gesamtlösung" des vorgegebenen (inhomogenen) LGS!
Nun zu den Skalaren [mm] \lambda, \mu, [/mm] ...: Die Lösung eines homogenen LGS ist ja immer gleich dem Kern der zur Matrix A gehörenden Abbildung, d.h. die Lösungsmenge des homogenen LGS ist ein (Unter-)Vektorraum - daher auch die Skalare!
Ich hoffe, ich habe alle Unklarheiten beseitigt, wenn nicht, so kannst du gern noch weitere Fragen stellen!
lg Georg
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