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Hallo an allem 
Ich übe zurzeit Grenzwertbestimmung und verstehe eine Aufgabe nicht richtig. Habe die Lösung auch dabei.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ x^{n}}{ a^{x}} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ nx^{n-1}}{ a^{x}ln a} [/mm] $ = ...= $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{n fakultät}{ a^{x} (ln a)^{n}} [/mm] $ = 0
kann jemand mir bitte sagen nach welcher Regel oder Satz kommt man hier im Zähler zur {n fakultät} und im Nenner $ [mm] (lna)^{n} [/mm] $
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ x^{n}}{ a^{x}}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ nx^{n-1}}{ a^{x}ln a}[/mm] =
> ...= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{n!}{ a^{x} (ln a)^{n}}[/mm]
> = 0
>
> kann jemand mir bitte sagen nach welcher Regel oder Satz
> kommt man hier im Zähler zur n! und im Nenner
> [mm](lna)^{n}[/mm]
Hallo,
es wird hier die Regel von l'Hospital mehrfach angewendet, nämlich n-mal.
Die Regel von l'Hospital kann man anwenden, wenn für [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] Zähler und Nenner beide gegen 0 oder gegen [mm] \infty [/mm] streben, die Funktionen in einer Umgebung von [mm] x_0 [/mm] diffbar sind, und wenn die Ableitung in einer Umgebung von [mm] x_0 \not=0 [/mm] ist, der Punkt [mm] x_0 [/mm] ist von diesen Bedingungen ausgenommen.
Hier hat man nach jeder Anwendung wieder die Voraussetzungen für die Regel gegeben: die Funktionen in Nenner und Zähler [mm] \to \infty, [/mm] und da wahrscheinlich vorausgesetzt war, daß a [mm] \not= [/mm] 0, macht uns auch der Zähler keine Probleme, denn er ist für alle x [mm] \not=0.
[/mm]
So leitet man also oben und unten n-mal ab, mach das mal, dann wird Dir die n! schnell klar sein. Kannst's ja auch erstmal mit [mm] x^5 [/mm] durchführen. Das klärt das Prinzip.
Zum unteren Term: bedenke, daß [mm] g(x):=a^x= e^{xlna}, [/mm] also g'(x)= [mm] lnae^{xlna}, g''(x)=(lna)^2e^{xlna} [/mm] usw., eben n-mal.
Alles klar, oder?
Gruß v. Angela
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