L´Hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=x^2*(lnx)^2 [/mm] |
Hallo,
Die obige Funktion sollen wir diskutieren. Das ist eigentlich, abgesehen davon, dass die Ableitungen ewig lang sind und somit die Wendepunktebestimmung ne Katastrophe ist, auch alles ok.
Das Problem hab ich aber vor allem beim Grenzwert. Ich kenne den Satz von L´Hospital und weiß auch wie ich damit allgemein nen Grenzwert bestimmt. Mein Problem ist nur, dass ich gar nicht weiß in welchem Fall ich den genau anwenden muss.
Muss ich den bei jeder Funktion, die Produkt hat anwenden oder wann genau muss ich das machen.
Ich hab bei der Funktion bisher jetzt sowohl bei x->0 als auch bei
x->unendlich l´Hospital angewendet. Aber da ich ja [mm] (lnx)^2 [/mm] hab müsste ich das ja dann zweimal machen. Stimmt das alles?
Danke schonmal im Voraus
Michi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Michi.
Die Regel von l'Hopital wendest du bei unbestimmten Audrücken an.
Also bei Ausdrücken wie [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{ \infty}{ \infty}.
[/mm]
Ob du einen unbestimmten Ausdruck hast, siehst du wie folgt:
Wenn du z.B. den Grenwert von einer gebrochenen Funktion bestimmen willst, für sagen wir x gegen Unendlich.
Dann setzt du in deine Funktion einfach mal den Grenzwert ein, und guckst, wogegen Zähler und Nenner in diesem Fall streben würden.
Würde z.B. der Zähler gegen unendlich laufen, und der Nenner auch, dann hast du einen unbestimmten Ausdruck und kannst die Regel von l'Hopital anwenden.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michi!
Wei Nadine bereits geschrieben hat, gilt  de l'Hospital nur bei asudrücken [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] .
Wir benötigen hier also eine Bruchdarstellung. Forme daher um zu:
[mm] $x^2*\left[\ln(x)\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left[\ln(x)\right]^2}{\bruch{1}{x^2}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Blacky |
Hallo!
Darf, bzw. muss man die Regeln von de l'Hospital nicht auch im Falle [mm]\bruch{-\infty}{\infty}[/mm] bzw. [mm]\bruch{\infty}{-\infty}[/mm] anwenden, also immer im Falle wenn man keine eindeutige Aussage treffen kann?
mfg blacky
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blacky!
Erwischt, das habe ich etwas schludrig formuliert.
Man kann de l'Hospital anwenden bei dem Ausdruck [mm] $\red{\pm} [/mm] \ [mm] \bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Wenn wir schonmal dabei sind,
wie siehts denn aus mit den Ausdrücken [mm] \bruch{0}{\pm\infty} [/mm] und [mm] \bruch{\pm\infty}{0}?
[/mm]
Zählen die auch zu den unbestimmten Ausdrücken?
LG, Nadine
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Hi, pacapear,
> Wenn wir schonmal dabei sind,
>
> wie siehts denn aus mit den Ausdrücken [mm]\bruch{0}{\pm\infty}[/mm]
> und [mm]\bruch{\pm\infty}{0}?[/mm]
>
> Zählen die auch zu den unbestimmten Ausdrücken?
Nö, denn:
Im ersten Fall kommt 0 raus, im zweiten [mm] \pm \infty [/mm] (wobei auch die "Vorzeichen von 0" eine Rolle spielen)!
L'Hospital ist hier gradezu VERBOTEN!
Aber bei [mm] 0*\infty [/mm] kann man durch Umformung [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] erhalten - und dann L'Hospital anwenden.
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mo 20.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> Wenn bei [mm]\bruch{0}{\infty}[/mm] Null rauskommt, warum dann nicht
> auch bei [mm]0*\infty,[/mm] wieso muss ich das dann in einen Bruch
> umformen ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ?
>
> Das finde ich voll unlogisch.
>
> Klar, Null durch irgendwas ist Null, aber Null mal
> irgendwas doch auch, oder?
Das ist eine Definitionssache: man geht davon, dass der AUSDRUCK [mm] 0*\infty [/mm] nicht definiert ist (wie [mm] \bruch{a}{0} [/mm] für kein a definiert ist). In der Maßtheorie nimmt man an, dass [mm] 0*\infty=0, [/mm] was durchaus sinvoll ist. Das sind Rechenregel!
Bei den Regeln von LHospital geht es darum Kriterien festzuhalten, damit man den GRENZWERT bestimmen kann. Es geht nicht um Ausrechnen von Ausdrücken. Die Schreibweise [mm] \bruch{0}{0} [/mm] und [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] ist insofern nicht korrekt, weil sie keine Aussage, darüber macht was sie bedeutet. Das ist bloß eine Merkregel.
Es geht um eine VORAUSSETZUNG, damit einen bestimmten Grenzwert mittels der Regeln von LHospital ausrechnen DARF.
> Müsste das nicht "nicht definiert" sein? Obwohl, dann
> müsste [mm]\bruch{0}{0}[/mm] auch "nicht definiert" sein
> ?
>
> Hmmm....
Genau - der Ausdruck ist nicht definiert. Die Regeln von LHospital liefern auch keine Definition davon. Das ist eine irreführende Schreibweise. Am Besten schaust du dir noch Mal ![[]](/images/popup.gif) die korrekten Regeln an. Da benutzt man [mm] \bruch{0}{0} [/mm] und Ähnliches nämlich nicht.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Di 21.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
also es tut mir ja total Leid, aber ich kann mit dieser genauen Regel nicht viel anfangen, auch wenn ich es wahrscheinlich als nicht gerade schlechter GK Schüler müsste *schäm*
Also wir haben im GK eigentlich nie Funktionen die aus Quotienten bestehen, sondern nur mit Produkten. Ich weiß auch, dass ich für den Grenzwert mit dem L´Hospital da einen Bruch draus machen muss sodass ich dann habe [mm] (lnx)^2/1/x^2 [/mm] dann leite ich den Zähler und den Nenner getrennt, ohne Produktregel, ab. Nur wenn ich das hier mache hab ich ja dann auch erstmal [mm] 2*lnx/-2/x^3
[/mm]
Darf ich den L´Hospital dann noch ein zweites mal anwenden? Dann hätte ich ja [mm] 2/x/6/x^4=12x^3
[/mm]
wenn ich das dann für x--> [mm] \infty [/mm] bestimme, hab ich da ja
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)= \infty
[/mm]
und für [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)= [/mm] 0
meine Ausgangsfrage ist halt ob ich das jetzt wirklich bei beiden Grenzwerten bzw. allgemeiner bei allen Produkufunktionen für beide Grenzwerte so machen muss.
Bei ganzrationalen Funktionen kann ich das ja so bestimmen. Gibt es jetzt auch Grenzwerte bei Produktfunktionen, bei denen ich das ohne L´Hospital machen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Di 21.03.2006 | | Autor: | Blacky |
> Darf ich den L´Hospital dann noch ein zweites mal
> anwenden?
Ja, das darf man, wenn nach dem 1. Schritt immernoch ein Term bestehen bleibt, für den man keine eindeutige Aussage treffen kann!
> Gibt es jetzt auch Grenzwerte bei Produktfunktionen, bei
> denen ich das ohne L´Hospital machen kann?
Ja, es kommt immer auf die Funktionen an. In deinem Beispiel brauchst du für den Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}
[/mm]
auch keinen Hospital anwenden da es eine eindeutige Aussage ist. [mm] \infty [/mm] * [mm] \infty [/mm] ergibt [mm] \infty. [/mm] Wenn du jedoch [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] hast, geht [mm] x^2 [/mm] gegen 0, ln(x) jedoch gegen [mm] -\infty. [/mm] Hier brauchst du l'Hospital. Die beiden Grenzwerte die du angegeben hast stimmen so. Bei der Rechnung bin ich mir jetzt nicht ganz sicher.
mfg blacky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Di 21.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michi!
Bei der ersten Anwendung von de l'Hospital ist Dir aber ein Fehler unterlaufen, da Du im Zähler die innere Ableitung unterschlägst:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{[\ln(x)]^2}{x^{-2}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{2*\ln(x)*\red{\bruch{1}{x}}}{(-2)*x^{-3}} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Di 21.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
Danke für die Korrektur, die Kette hab ich komplett übersehen!!
Aber dann bekomm ich das mit 2mal l´Hospital ja immer noch nicht hin. weil dann folgt ein Produkt und wenn ich das ableite hab ich da wieder den ln stehen. Wie soll das denn jetzt gehen, damit ich da endlich ne eindeutige Aussage rausbekomme?
Nur nochmal um mein Verständnis zu überprüfen: eindeutig ist also
[mm] \infty* \infty
[/mm]
nicht eindeutig ist
- [mm] \infty*0
[/mm]
und 0*0
stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Di 21.03.2006 | | Autor: | Blacky |
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{(lnx)^2}{\bruch{1}{x^2}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{2*ln(x)*\bruch{1}{x}}{-\bruch{2}{x^3}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0} -\bruch{2*ln(x)*x^3}{2x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0} -(ln(x)*x^2) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0} -\bruch{lnx}{\bruch{1}{x^2}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0} -\bruch{\bruch{1}{x}}{-\bruch{2}{x^3}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{x^3}{2x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{x^2}{2} [/mm] = 0
Ich glaub so geht das. Verstehste? :D
Nicht eindeutig ist 0* [mm] \pm\infty
[/mm]
0*0 ist glaube ich 0, also eindeutig, genau wie [mm] \pm\infty*\pm\infty
[/mm]
mfg blacky
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Di 21.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
also mir ist durch deine Lösung gerade der Einfall gekommen, dass ich nach dem einzelnen Anwenden von L´Hospital ja kürzen kann (warum bin ich da nicht schon vorher drauf gekommen? :-D) aber dann bekomm ich da was anderes raus.
[mm]\lim_{x\rightarrow 0}{x^2\ln^2x} = \frac{\ln^2x}{x^{-2}} \mathop =^{\text{de l'Hospital}} \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{2\ln x \frac{1}{x}}{-2x^{-3}}} = \lim_{x\rightarrow 0}{2\ln x \left(-2x^2\right)}= \lim_{x\rightarrow 0} -\frac{2\ln x}{2x^{-2}} \mathop =^{\text{de l'Hospital}} \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\frac{2}{x}}{4x^{-3}}} = \lim_{x\rightarrow 0}x^{-1}4x^3 = \lim_{x\rightarrow 0}{8x^2}=0[/mm]
am Ende haben wir zwar dieselbe Lösung aber nicht dieselbe Rechnung...
aber zumindest den Ansatz versteh ich und die Idee mit dem kürzen :-D
Grüße Michi
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 16:32 Di 21.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
Hi!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
Hi ihr,
hm die Antwort wurde jetzt einen Tag lang nicht fertig gestellt. Ist ja auch nicht so schlimm. Aber vielleicht kann sich ja wer anders meinen Ansatz mal angucken und mir sagen ob das stimmt oder nicht (s. letzte Frage)
liebe Grüße
Michi
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Hallo Michi,
Ich habe mir jetzt zwar nicht die ganze Diskussion durchgelesen, aber vielleicht kann ich ja deine Rechnung etwas kommentieren.
> [mm]\lim_{x\rightarrow 0}{x^2\ln^2x} = \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\ln^2x}{x^{-2}}}[/mm]
Es gilt ja [mm]x^2 = \frac{1}{\frac{1}{x^2}} = \frac{1}{x^{-2}}[/mm]. Damit ist diese Rechnung gerechtfertigt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\mathop =^{\text{de l'Hospital}} \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{2\ln x \frac{1}{x}}{-2x^{-3}}}[/mm]
Die Regel von de l'Hospital darf man hier wohl wirklich anwenden, denn der Nenner des Bruches konvergiert gegen [mm]\infty[/mm]:
[mm]\lim_{x\rightarrow 0}x^{-2} = \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x^2}}= \infty[/mm]
Jetzt müßte man nur noch einsehen, daß das auch für den Zähler gilt. Es gilt
[mm]\lim_{k\to\infty}{e^{-k}} = \lim_{k\to\infty}{\frac{1}{e^k}} = 0[/mm]
Betrachten wir also eine Gleichung
[mm]z = e^{-k}[/mm]
Wir stellen fest: Je größer der positive Wert ist, den [mm]k[/mm] annimmt, desto kleiner wird unser positives [mm]z[/mm]. Umgekehrt gelesen heißt das: Je kleiner das positive [mm]z[/mm] ist, daß wir beobachten können, desto größer muß das [mm]k[/mm] gewesen sein, welches wir in die rechte Seite der Gleichung eingesetzt haben. Mit anderen Worten:
[mm]\lim_{z\to 0}\ln z = -\infty[/mm]
Na ja, und in deinem Fall quadrieren wir ja noch den Term, wodurch das Minus wegfallen müßte:
[mm]\lim_{x\to 0}{\ln^2 x} = \infty[/mm]
Also haben wir den Fall [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm] und können die obige Regel anwenden. (Sag' Bescheid, wenn unklar ist, was wie abgeleitet wurde... jedenfalls werden Zähler und Nenner bei dieser Regel getrennt abgeleitet.)
> [mm] = \lim_{x\rightarrow 0}{2\ln x \left(-2x^2\right)}[/mm]
Hier ist wohl ein Rechenfehler passiert. Rechnen wir mal mit dem obigen Term weiter:
[mm]\lim_{x\to 0}{\frac{2\ln x \frac{1}{x}}{-2x^{-3}}} = \lim_{x\to 0}{\frac{\ln x\frac{1}{x}}{-x^{-3}}} = \lim_{x\to 0}{-x^3\ln x \frac{1}{x}} = \lim_{x\to 0}-x^2\ln x[/mm]
> [mm]= \lim_{x\rightarrow 0} -\frac{2\ln x}{2x^{-2}}[/mm]
Allerdings sehe ich gerade, daß du den obigen Rechenfehler gar nicht weitergeschleppt hast ... . Jedenfalls ist dieser Ausdruck wieder: . Obwohl mir nicht klar ist, wieso hier mit 2 erweitert wird.
> [mm]\mathop =^{\text{de l'Hospital}} \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\frac{2}{x}}{4x^{-3}}}[/mm]
>[mm] = \lim_{x\rightarrow 0}x^{-1}4x^3[/mm]
Das stimmt nicht. Rechnen wir mal mit dem letzten richtigen Term weiter:
[mm]\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{2}{x}}{4x^{-3}}} = \lim_{x\to 0}{\frac{2}{4xx^{-3}}} = \lim_{x\to 0}{\frac{1}{2x^{-2}}} = \lim_{x\to 0}{\frac{x^2}{2}} = 0[/mm]
und wir sind fertig. Interessant ist, daß bei dir nach obigem Fehler einfach nur ein anderer Vorfaktor rauskommt:
>[mm] = \lim_{x\rightarrow 0}x^{-1}4x^3[/mm]
[mm]= \lim_{x\to 0}{4x^2} = 0[/mm]
> [mm]= \lim_{x\rightarrow 0}{8x^2}=0[/mm]
Dieser Schritt ist eigentlich nicht mehr notwendig, und der Vorfaktor hat sich auch wieder verändert?
> am Ende haben wir zwar dieselbe Lösung aber nicht dieselbe
> Rechnung...
Na ja, aus einer falschen Aussage kann man eben alles Mögliche folgern, auch Richtiges! Außerdem war die Rechnung ja eigentlich fast richtig. Nur am Schluß wurde dann durch menschliche Intuition  der richtige Term [mm]x^2[/mm] ermittelt. Der Vorfaktor spielte hier keine Rolle, weil [mm]x^2[/mm] so oder so gegen 0 geht. Man hätte hier statt der 8 auch ruhig die derzeit größte ermittelte Mersenne-Primzahl als Vorfaktor einsetzen können.  Es wäre egal.
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
die Rechenfehler, die ich nicht weiter mitschleppe kommen daher, dass es nur Übertragungsfehler sind. Ich hab die Rechnung aus meinem Heft abgeschrieben. Aber das heißt ich habs verstanden und im Prinzip richtig gemacht *megafreu*
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Mo 20.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Wenn in der Aufgabe LHospital nicht gefordert wird, würde ich ganz anders vorgehen. Betrachte mal [mm] g(x)=xlnx=lnx^{x}. [/mm] Wenn das für x gegen 0 konvergiert, dann konvergiert auch [mm] g^{2}(x)=f(x) [/mm] gegen das Quadrat von der Grenze von g.
Gruß,
dormant
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