Ladungsverteilung H-Atom < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Das zeitgemittelte Potential eines neutralen Wasserstoffatoms ist näherungsweise gegeben durch
[mm]\Phi = q \bruch{e^{-\alpha * r}}{r} \left(1+\bruch{\alpha*r}{2}\right)[/mm],
wobei q die Elektronenladung bezeichnet und [mm]\alpha = \bruch{2}{\alpha_{0}}[/mm], wobei [mm]\alpha_{0}[/mm] der Bohr'sche Radius ist. Bestimmen Sie die Verteilung der Ladung (sowohl diskret als auch kontinuierlich), die dieses Potential ergibt und interpretieren Sie das Ergebnis physikalisch. |
Hallo allerseits,
wollt mal meine Ergebnisse kommentieren lassen, insbesondere bei der physikalischen Interpretation bin ich nicht sicher.
diskret:
Ausgehend von der POISSON-Gleichung und Kugelkoordinaten
[mm]\Delta\Phi = -4\pi\rho[/mm]
erhalte ich
[mm]\Delta\Phi = \bruch{1}{r^{2}}\bruch{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\bruch{\partial\Phi}{\partial r}\right)[/mm]
also
[mm]\Delta\Phi = \bruch{1}{r^{2}}\bruch{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\bruch{\partial}{\partial r}\left(q\bruch{e^{-\alpha r}}{r} + q\bruch{\alpha}{2}e^{-\alpha r}\right)\right)[/mm]
Zweifache partielle Differentiation und Multiplikation mit [mm]r^{2}[/mm] bzw. [mm]\bruch{1}{r^{2}}[/mm] ergibt dann
[mm]q\bruch{\alpha^{3}}{2}e^{-\alpha r}[/mm]
Eingesetzt in die Poisson Gleichung ergibt sich
[mm]\rho = -q\bruch{\alpha^{3}}{8\pi}e^{-\alpha r}[/mm]
Hier bin ich recht sicher, dass das stimmt.
kontinuierlich:
Ausgehend von
[mm]\Phi = \int_{V} d^{3}r' \bruch{\rho\left(r\right)}{|r-r'|}[/mm]
kann ich den Laplace Operator (der sich nur auf r bezieht) auf [mm]\bruch{1}{|r-r'|}[/mm] anwenden und erhalte [mm]-4\pi\delta\left(r-r'\right)[/mm]
somit
[mm]\Delta\Phi = -4\pi\int_{V} d^{3}r' \rho\left(r'\right)\delta\left(r-r'\right)[/mm]
und
[mm]\Delta\Phi = -4\pi\rho\left(r\right)\delta\left(r-r'\right)[/mm]
Somit habe ich dann das selbe Ergbenis wie oben, nur das auf der rechten Seite
[mm]\rho\left(r\right)\delta\left(r-r'\right)[/mm] steht.
Weiter habe ich mir gedacht, dass man nun [mm]r' = \alpha_{0}[/mm] setzen müsste, da es sich ja um ein H-Atom handelt und das dessen Radius ist.
Zur Interpretation fällt mir nur ein, dass, wenn [mm]r' > \alpha_{0}[/mm] die Ladungsverteilung gleich null sein würde, was beweisen würde, dass das H-Atom nach außen neutral erscheint.
Irgendwelche Einwände oder Tips was die Interpretation angeht?
Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 29.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
