Länge Seiten eines Dreiecks < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Dreieck hat eine Fläche von 100 [mm] cm^{2}. [/mm] Seite a ist 2 cm länger als Seite b. Seite b ist doppelt so lang wie Seite c.
Wie lang sind die Seiten a, b und c. |
Auf den ersten Blick scheint die Aufgabe einfach zu sein.
Aber erst nach langem Wälzen von Formelsammlungen und Rumrechnen bin ich schließlich auf die Formel gekommen:
[mm] \bruch{(7c^{2}+8c+4)^{2}}{(8c^{2}+8c)^{2}} +\bruch{10000}{(2c^{2}+2c)^{2}} [/mm] =1
Tja, und auch diese Formel lässt sich kaum "so einfach" nach c auflösen. Nur mit Hilfe eines Computer-Programms habe ich gefunden, dass
[mm] c\approx [/mm] 10 ist.
Also wäre das Dreieck etwa a=22 cm , b=20 cm und c=10 cm
Gibt es da wirklich keinen einfacheren Weg, diese Aufgabe ohne "Akrobatik" zu lösen?
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hi ! ..
manchmal bringt einen das "Durchwelzen" von Formelsammlungen durcheinander und man sollte das nicht zu lange betreiben :)
also:
Du kannst aus der Aufgabenstellung entnehmen:
A = 100
a = b+2 ( a ist 2 cm länger als b )
b = 2*c ( Seite b ist doppelt solang wie Seite c )
Die Flächeninhaltsformel für ein Dreick ist z.B A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] *a*b
Du könntest z.B die obigen Erkenntnisse mal in diese formel einsetzen ..
Du bekommst dann eine Gleichung mit den zwei Unbekannten b und c ...
Das heißt: eine Variable zuviel ..
Wie könnte dieses Problem gelöst werden ?
tipp: pythagoras ...
einfach mal ein bisschen einsetzen und umstellen und gucken was so passiert ..
ansonsten gerne nochmal nachfragen
gruß PoMpEiUs
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Sa 23.02.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Wo steht denn, dass es um ein rechtwinkliges Dreieck geht? Und woher weißt du, dass [mm] \gamma [/mm] der rechte Winkel ist?
Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Sa 23.02.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Wo steht denn, dass es um ein rechtwinkliges Dreieck geht?
> Und woher weißt du, dass [mm]\gamma[/mm] der rechte Winkel ist?
Vollkommen richtig.
Das Dreieck ist zwar fast rechtwinklig - aber eben nur fast:
[mm] 20^{2}+10^{2}=500
[/mm]
[mm] 22^{2}=484
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Sa 23.02.2008 | | Autor: | weduwe |
ja das kannst du einfacher haben.
man kommt zwar auch auf eine gleichung 4. grades, aber die kann man ganz einfach mit newton lösen, und sogar exakt, wenn man unbedingt will.
und zwar geht das über die (sogenannte) heron´sche flächenformel
[mm]A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \quad{ }\text{mit}\quad{ }s=\frac{a+b+c}{2}[/mm]
was auf [mm]15c^4+16c^3-56c²-64c-160016=0[/mm] führt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Mo 25.02.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Danke weduwe. Toll, wie du das hingekriegt hast. Wobei mich allerdings überrascht, dass man eine Gleichung sechsten Grades so einfach in eine Gleichung vierten Grades umwandeln kann.
Nichtsdestoweniger: Ursprünglich war die Aufgabe für 9. Klasse Gymnasium gedacht (Thema: Quadratische Gleichungen, Parabeln etc.).
Doch dann sah ich, dass sich das Lösen des Problems als schwieriger herausstellte als gedacht. Andere - ähnlich klingende Aufgaben - führen dagegen direkt zu einer Gleichung zweiten Grades, die die Schüler dann leicht lösen können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Mo 25.02.2008 | | Autor: | weduwe |
hallo rabilein,
auch ohne heron kommst du mit dem cosinussatz und der "trigonometrischen" flächenformel ans ziel
1) [mm] (2c+2)²=c²+4c²-4c²\cdot cos\alpha
[/mm]
2) [mm] A=\frac{b\cdot c}{2}sin\alpha\to sin\alpha=\frac{A}{c²}
[/mm]
mit [mm] 1-sin²\alpha=cos²\alpha [/mm] kommt man wieder auf
[mm] 15c^4+16c³-56c²-64c-16A²-16=0
[/mm]
aber eine variante, die auf eine quadratische gleichung führt, sehe ich (noch) nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Mo 25.02.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> mit [mm]1-sin²\alpha=cos²\alpha[/mm] kommt man wieder auf
Genau so war ich auch auf meine Formel gekommen. Durch "alles ausmultiplizieren" ergab sich dann eine Gleichung achten Grades. Da darin dann jedoch weder ein [mm] x^{1} [/mm] noch ein [mm] x^{0} [/mm] auftauchte, konnte ich es auf eine Gleichung sechsten Grades bringen.
Wie du ja gezeigt hast, ist sogar eine Gleichung vierten Grades möglich:
[mm]15c^4+16c³-56c²-64c-16A²-16=0[/mm]
> aber eine variante, die auf eine quadratische gleichung
> führt, sehe ich (noch) nicht.
Das geht bestimmt auch nicht. Ich hatte mit diesem Hinweis nur gemeint, dass andersartige (aber ähnlich klingende) Aufgaben zu einer quadratischen Gleichung führen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Mo 25.02.2008 | | Autor: | weduwe |
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> > mit [mm]1-sin²\alpha=cos²\alpha[/mm] kommt man wieder auf
>
> Genau so war ich auch auf meine Formel gekommen. Durch
> "alles ausmultiplizieren" ergab sich dann eine Gleichung
> achten Grades. Da darin dann jedoch weder ein [mm]x^{1}[/mm] noch
> ein [mm]x^{0}[/mm] auftauchte, konnte ich es auf eine Gleichung
> sechsten Grades bringen.
>
> Wie du ja gezeigt hast, ist sogar eine Gleichung vierten
> Grades möglich:
> [mm]15c^4+16c³-56c²-64c-16A²-16=0[/mm]
>
> > aber eine variante, die auf eine quadratische gleichung
> > führt, sehe ich (noch) nicht.
> Das geht bestimmt auch nicht. Ich hatte mit diesem Hinweis
> nur gemeint, dass andersartige (aber ähnlich klingende)
> Aufgaben zu einer quadratischen Gleichung führen.
>
ich habe es auch so verstanden.
aber auch wenn ich hier deine meinung teile, da gibt es ein "berühmtes" gegenbeispiel mit der leiter, die an der mauer lehnt, vor der eine "quadratische" kiste steht.
das führt auch auf eine gleichung 4. grades.
da habe ich aber eine lösung gefunden, die auf quadratische gleichungen führt - dazu gibt es ein berühmtes vorbild: newton, "arithmetica universalis", aufgabe 24.
aber du hast natürlich recht, als beispiel für quadratische gleichungen ist es sicher untauglich.
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