Länge des Normalenvektor < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Beliar |
Hallo, es geht diesmal um Verständnis und richtige Schreibweise:
Ich möchte die Länge des Normalenvektors [mm] \vec{n}=\vektor{10 \\ 5 \\7} [/mm] ermitteln. Ich gehe wie folgt vor,
[mm] Länge=\bruch{\vektor{10 \\ 5 \\7}}{\wurzel{10^2+5^2+7^2}}
[/mm]
das ist dann:
[mm] Länge=\bruch{\vektor{10 \\ 5 \\7}}{\wurzel{174}}
[/mm]
den nächsten Schritt verstehe ich nicht so ganz, jetzt kann ich dafür ja auch [mm] schreiben:\bruch{1}{\wurzel{174}}
[/mm]
kann mir jemand erklären warum das so ist, und auch ob die schreibweise richtig ist.
Danke Beliar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Was du hier gemacht hast, ist das Normieren des Normalenvektors auf die Länge 1.
Wenn du [mm] \wurzel{10^2+5^2+7^2} [/mm] berechnest, hast du die Länge.
Wenn du nun jede Komponente des Vektors durch diesen Betrag des Vektors, also dessen Länge teilst, erhälst du einen Normalenvektor der Länge 1.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Beliar |
OK, Unterschied verstanden. Aber wie erklärt sich der letzte Bruch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Der letzte Bruch erklärt sich für mich quasi gar nicht; das ist die Zahl, mit welcher du jede Zahl multiplizieren musst, damit du einen Vektor der Länge 1 erhälst.
Sonst hat die Zahl meiner Ansicht nach "keine Bedeutung"; also steht in keinem tieferen Zusammenhang.
Das Ergebnis der Rechnung wäre ja quasi ein Vektor und kein Bruch.
Lg
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Hallo Reinhard,
die Länge eines Vektors [mm] $\vec{x}$ [/mm] ist ja eine nicht-negative reelle Zahl, man bezeichnet sie mit [mm] $||\vec{x}||$
[/mm]
Hier hast du richtig die Länge von [mm] $\vec{n}=\vektor{10\\5\\7}$ [/mm] ausgerechnet: [mm] $||\vec{n}||=\sqrt{174}$
[/mm]
Um einen Vektor zu normieren, also auf die Länge 1 zu bringen, teilt man ihn durch seine Länge, also hier:
[mm] $\frac{\vec{n}}{||\vec{n}||}=\frac{\vektor{10\\5\\7}}{\sqrt{174}}$
[/mm]
oder anders geschrieben [mm] $\frac{1}{\sqrt{174}}\cdot{}\vektor{10\\5\\7}=:\vec{n}_{\text{normiert}}$
[/mm]
Dieser neue Vektor [mm] $\vec{n}_{\text{normiert}}$ [/mm] hat nun die Länge 1.
Rechne mal [mm] $||\vec{n}_{\text{normiert}}||$ [/mm] aus ... 
Ich hoffe, das beantwortet deine Frage
LG
schachuzipus
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