Länge einer Kurve < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Gegeben seien die Funktion $f:\IR^{3}\to\IR$ und die Kurve $\gamma:[1,2]\to\IR^{3}$ mit $f(x,y,z)=\bruch{x^{2}}{z}$ und $\gamma(t)=\vektor{t^{2} \\ \bruch{4\wurzel{3}}{5}t^{\bruch{5}{2} \\ t^{3}}$.
a) Berechnen Sie die Länge $L(\gamma)$ der Kurve \gamma. |
Hallo zusammen. Nachdem ich vieles im Internet und in unserem Skript über Kurvenintegrale/Länge von Kurven gelesen habe, bin ich irgendwie nicht sonderlich schlauer. Wie genau geht man in diesem Fall vor.
Mein Ansatz:
$\gamma^{(1)}(t)$ bilden und diesen Vektor dann normieren. Ich komme auf:
$|\gamma^{(1)}(t)|= \wurzel{2t^{2}+12t^{3}+9t^{4}}$.
Diesen würde ich dann im Bereich von 1 bis 2 integrieren. Danke !
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Hallo Ciotic,
> Gegeben seien die Funktion [mm]f:\IR^{3}\to\IR[/mm] und die Kurve
> [mm]\gamma:[1,2]\to\IR^{3}[/mm] mit [mm]f(x,y,z)=\bruch{x^{2}}{z}[/mm] und
> [mm]\gamma(t)=\vektor{t^{2} \\
\bruch{4\wurzel{3}}{5}t^{\bruch{5}{2} \\
t^{3}}[/mm].
>
> a) Berechnen Sie die Länge [mm]L(\gamma)[/mm] der Kurve [mm]\gamma.[/mm]
> Hallo zusammen. Nachdem ich vieles im Internet und in
> unserem Skript über Kurvenintegrale/Länge von Kurven
> gelesen habe, bin ich irgendwie nicht sonderlich schlauer.
> Wie genau geht man in diesem Fall vor.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]\gamma^{(1)}(t)[/mm] bilden und diesen Vektor dann normieren.
> Ich komme auf:
> [mm]|\gamma^{(1)}(t)|= \wurzel{\red{2}t^{2}+12t^{3}+9t^{4}}[/mm].
Verschrieben? [mm](2t)^2=4t^2[/mm]
>
> Diesen würde ich dann im Bereich von 1 bis 2 integrieren.
Ja, woran scheitert's?
Klammere [mm]t^2[/mm] aus und ziehe es aus der Wurzel, dann hast du
[mm]\int\limits_1^2{t\cdot{}\sqrt{9t^2+12t+4} \ dt}=\int\limits_1^2{t\cdot{}\sqrt{(3t+2)^2} \ dt}[/mm]
Das mal als Anschubser ...
> Danke !
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
Ja, das sollte eigentlich eine 4 werden. Danke soweit.
Ich komme dann auf 10 für die Länge.
Im nächsten Aufgabenteil soll man das Kurvenintegral erster Art berechnen. Kann es sein, dass da auch 10 rauskommt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Sa 09.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ja, das sollte eigentlich eine 4 werden. Danke soweit.
>
> Ich komme dann auf 10 für die Länge.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Im nächsten Aufgabenteil soll man das Kurvenintegral
> erster Art berechnen. Kann es sein, dass da auch 10
> rauskommt?
>
Nein, schau Dir die Definition des Kurvenintegrals nochmal an.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 So 10.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
Ok. für das Kurvenintegral erster Art gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(\gamma(t))||\gamma^{(1)}(t)||_{2} dt}
[/mm]
In meinem Beispiel:
[mm] \integral_{\gamma}{f(x,y,z)ds}=\integral_{\gamma}{\bruch{x^{2}}{z}ds}=\integral_{1}^{2}{\bruch{t^{4}}{t^{3}}\wurzel{(3t+2)^{2}}}=\integral_{1}^{2}{t(3t+2)}
[/mm]
Das wäre dann doch das gleiche Integral wie bei der Längenberechnung mit 10 als Ergebnis. Wo liegt mein Fehler ?
Danke !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch [mm] ||\gamma'(t)||=t\cdot{}(3t+2)
[/mm]
fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 So 10.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
Ja, dass ist mir auch gerade aufgefallen, ich habe ein t vergessen.
Schlussendlich komme ich auf [mm] \bruch{191}{12}. [/mm] Ist das korrekt?
Danke !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 So 10.06.2012 | | Autor: | notinX |
> Ja, dass ist mir auch gerade aufgefallen, ich habe ein t
> vergessen.
>
> Schlussendlich komme ich auf [mm]\bruch{191}{12}.[/mm] Ist das
> korrekt?
Ja.
>
> Danke !
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 So 10.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
Danke !
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