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| Aufgabe | Man bestimme die Länge der Kurve
[mm] \gamma [/mm] (t) = ( sin t ,cos t , t), t [mm] \in [/mm] [0,2Pi] |
Hallo,
ich habe mal eine Frage. Wie ich eine länge der kurve berechne habe ich auf einer anderen Seite, anhand eines bsp. gesehen.
Nur bei dieser Aufgabe habe ich ja keine richtige Funktion. Oben wird alles mit einem Komma getrennt. Wie schreibe ich die Funktion [mm] \gamma [/mm] (t) = ( sin t ,cos t , t) ? also kommt zwischen sin t und cos t ein plus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Man bestimme die Länge der Kurve
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> [mm]\gamma[/mm] (t) = ( sin t ,cos t , t), t [mm]\in[/mm] [0,2Pi]
> Hallo,
>
> ich habe mal eine Frage. Wie ich eine länge der kurve
> berechne habe ich auf einer anderen Seite, anhand eines
> bsp. gesehen.
>
> Nur bei dieser Aufgabe habe ich ja keine richtige Funktion.
Was ? [mm] \gamma [/mm] ist doch eine tadellose Funktion
$ [mm] \gamma:[0, [/mm] 2 [mm] \pi] \to \IR^3$
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] ist eine Vektorwertige Funktion !
Die Bildmenge von [mm] \gamma [/mm] ist die Schraubenlinie (Helix)
http://de.wikipedia.org/wiki/Helix
> Oben wird alles mit einem Komma getrennt. Wie schreibe ich
> die Funktion [mm]\gamma[/mm] (t) = ( sin t ,cos t , t) ? also kommt
> zwischen sin t und cos t ein plus?
Unsinn
FRED
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Achso okay sry ^^
wie leite ich so eine Funktion denn ab?
leite ich die denn einzeln an? also aus sin t wird cos t? als erstes für die Länge einer Kurve brauche ich doch die Ableitung oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Achso okay sry ^^
>
> wie leite ich so eine Funktion denn ab?
> leite ich die denn einzeln an? also aus sin t wird cos t?
> als erstes für die Länge einer Kurve brauche ich doch die
> Ableitung oder?
Ist [mm] \gamma:[a,b] \to \IR^n [/mm] auf [a,b] differenzierbar und ist [mm] \gamma(t)=(\gamma_1(t),...,\gamma_n(t)), [/mm] so sind alle [mm] \gamma_j [/mm] differenzierbar auf [a,b] und es ist
[mm] \gamma'(t)=(\gamma_1'(t),...,\gamma_n'(t))
[/mm]
>
>
Ist [mm] \gamma [/mm] stetig differenzierbar, so ist die Länge von [mm] \gamma [/mm] gegeben durch
[mm] L(\gamma)=\integral_{a}^{b}{|| \gamma'(t)|| dt}
[/mm]
FRED
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Okay soweit steht es im Skript auch. aber kannst du mir ein Beispiel mit zahlen geben. Also jetzt nicht meine Aufgabe, die mach ich alleine, aber sowas ähnliches.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay soweit steht es im Skript auch. aber kannst du mir ein
> Beispiel mit zahlen geben. Also jetzt nicht meine Aufgabe,
> die mach ich alleine, aber sowas ähnliches.
Nee, das machen wir ganz anderster: Du rechnest Deine Aufgabe, denn das fragliche Integral ist piep-einfach !
FRED
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L = [mm] \int_{0}^{2Pi} \wurzel{sin^2 t + cos^2 t + t^2}\, [/mm] dt ist das richtig?
dann = [mm] \int_{0}^{2Pi} [/mm] sin t + cos t + t dt \ =
-cos t + sin t+ [mm] \bruch{1}{2}t^2 [/mm] ist das richtig?
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Hallo ellegance88,
> L = [mm]\int_{0}^{2Pi} \wurzel{sin^2 t + cos^2 t + t^2}\,[/mm] dt
> ist das richtig?
Nein, das [mm] $t^2$ [/mm] stimmt nicht!
>
> dann = [mm]\int_{0}^{2Pi}[/mm] sin t + cos t + t dt \ =
Setzen, 6!!
Du kannst doch nicht summandenweise die Wurzel ziehen?!?!?!?!?
Es ist [mm] $\sin^2(t)+\cos^2(t)=...$
[/mm]
>
> -cos t + sin t+ [mm]\bruch{1}{2}t^2[/mm] ist das richtig?
Nein, sehr sehr falsch!
Gruß
schachuzipus
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$ [mm] \int_{0}^{2Pi} \wurzel{sin^2 t + cos^2 t + t\, }$ [/mm] das mit [mm] t^2 [/mm] habe ich verstanden, dass es falsch ist. war mein fehler.
Wie berechne ich jetzt das Integral? substitutionsregel? oder?
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Hallo nochmal,
> [mm]\int_{0}^{2Pi} \wurzel{sin^2 t + cos^2 t + t\, }[/mm] das mit
> [mm]t^2[/mm] habe ich verstanden,
Ganz offensichtlich nicht!
Die 3.Komponente von [mm]\gamma[/mm] ist [mm]t[/mm], was gibt das abgeleitet?
[mm]1[/mm] - und das im Quadrat ist immer noch [mm]1[/mm]
> dass es falsch ist. war mein
> fehler.
> Wie berechne ich jetzt das Integral? substitutionsregel?
> oder?
Nein, den Integranden vereinfachen.
Nochmal der Wink mit der Zaunfabrik: [mm]\sin^2(t)+\cos^2(t)=....[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ich komm mir jetzt grad voll blöd vor, wie vereinfache ich jetzt diesen Integranden?
$ [mm] \int_{0}^{2Pi} \wurzel{sin^2 t + cos^2 t + 1}\, [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich komm mir jetzt grad voll blöd vor, wie vereinfache ich
> jetzt diesen Integranden?
>
> [mm]\int_{0}^{2Pi} \wurzel{sin^2 t + cos^2 t + 1}\,[/mm]
Düdel düdel dü .....
Du studierst Mathematik und momentan seid Ihr bei Kurven im [mm] \IR^n, [/mm] dann mußt Du mindestens in Semester 2 sein. Und da willst Du uns erzählen, dass Du trotz allem Winke- Winke von schachuzipus mit allen Zäunen dieses Universums noch nie etwas von
[mm] sin^2(t)+cos^2(t)=1
[/mm]
gehört ,gelsen oder gesehen hast ?
FRED
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ja doch gelesen hab ich es. und genau als ich diese frage von eben hochgeladen habe ist mir der satz eingefallen...
$ [mm] \int_{0}^{2Pi} \wurzel{2}\, [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> ja doch gelesen hab ich es. und genau als ich diese frage
> von eben hochgeladen habe ist mir der satz eingefallen...
... so so ....
>
> [mm]\int_{0}^{2Pi} \wurzel{2}\,[/mm]
und das = ?
FRED
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Also ich habe als Länge 3, 5 raus ist das richtig?
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Hallo nochmal,
> Also ich habe als Länge 3, 5 raus ist das richtig?
Nein!
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe als Länge 3, 5 raus ist das richtig?
Die Rechnung möchte ich sehen . Bitte zeig sie mir
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Die Länge ist = $2 [mm] \pi*\wurzel{2}$
[/mm]
FRED
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Ja ich weiß wo mein Fehler war. War sehr unkonzentriert. Habe [mm] \wurzel{2} [/mm] falsch integriert.. so peinliche fehler..aber naja noch kann ich die Fehler machen bis zur Prüfung..
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Hallo nochmal,
> ja doch gelesen hab ich es. und genau als ich diese frage
> von eben hochgeladen habe ist mir der satz eingefallen...
>
> [mm]\int_{0}^{2Pi} \wurzel{2}\,[/mm]
Fehlt [mm] $\red{dt}$ [/mm] ...
Und ausrechnen ....
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> L = [mm]\int_{0}^{2Pi} \wurzel{sin^2 t + cos^2 t + t^2}\,[/mm] dt
> ist das richtig?
>
> dann = [mm]\int_{0}^{2Pi}[/mm] sin t + cos t + t dt \ =
Mein Vorredner hat ja schon alles gesagt !
In diesem Zusammenhang fält mir zu der "Regel"
[mm] $c^2=a^2+b^2 \Rightarrow [/mm] c=a+b,$
ein Kommentar von unserem Forum-Mitglied Al Chwarizmi ein:
warum schreibt Herr Pythagoras seinen Satz in der Form [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] , wenn es doch einfacher a+b=c lautet ?
FRED
>
> -cos t + sin t+ [mm]\bruch{1}{2}t^2[/mm] ist das richtig?
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> Okay soweit steht es im Skript auch. aber kannst du mir ein
> Beispiel mit zahlen geben. Also jetzt nicht meine Aufgabe,
> die mach ich alleine, aber sowas ähnliches.
hallo, hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Länge_(Mathematik)#Wege_in_der_Ebene_und_im_Raum
bzw etwas unter beispiele findest du hinweise zur berechnung
gruß tee
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