Längen- und Winkeltreue BEWEIS < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweise die winkel- und längentreue bei linearen Abbildungen. |
Eine Eigenschaft der linearen Abbildung ist doch die winkel- und längentreue. Für mich ist dies verständlich, doch wie beweise ich das?
Zur Winkeltreue habe ich folgendes im Skript gefunden:
<x,y> = xT * y
<Ax,Ay> = xT * AT * A * y
wegen AT * A = 1 folgt:
<Ax,Ay> = xT * y
ABER: woher habe ich die Bedingung: <x,y> = xT * y ?
Und wie lässt sich die Längentreue beweisen? Kann jemand den Beweis - insofern er kurz ist - hier aufschreiben? Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweise die winkel- und längentreue bei linearen
> Abbildungen.
> Eine Eigenschaft der linearen Abbildung ist doch die
> winkel- und längentreue. Für mich ist dies verständlich,
> doch wie beweise ich das?
>
> Zur Winkeltreue habe ich folgendes im Skript gefunden:
>
> <x,y> = xT * y
> <Ax,Ay> = xT * AT * A * y
>
> wegen AT * A = 1 folgt:
>
> <Ax,Ay> = xT * y
>
> ABER: woher habe ich die Bedingung: <x,y> = xT * y ?
>
> Und wie lässt sich die Längentreue beweisen? Kann jemand
> den Beweis - insofern er kurz ist - hier aufschreiben?
> Danke im Voraus.
Hallo reyjunior,
bei (beliebigen) linearen Abbildungen ist im Allgemeinen
weder Winkel- noch Längentreue vorhanden !
Möglicherweise verschweigst du eine ganz wichtige
zusätzliche Voraussetzung !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Fr 20.05.2011 | | Autor: | reyjunior |
Es handelt sich selbstverständlich um orthogonale Abbildungen mit detA= |1|...
Also: Spiegelung oder Drehung
Jetzt müsste die Frage in Ordnung sein, oder?
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> Es handelt sich selbstverständlich um orthogonale
> Abbildungen mit detA= |1|...
>
> Also: Spiegelung oder Drehung
>
> Jetzt müsste die Frage in Ordnung sein, oder?
OK.
Jetzt ist aber die Frage, von welchen Voraussetzungen
(Definition) du ausgehen sollst. Wenn schon klar ist, dass
es um Spiegelungen oder Drehungen geht, ist eigentlich
Längen- und Winkeltreue geometrisch gesehen schon
offensichtlich. Sollte nach einer Drehung eines Körpers
z.B. einer seiner Winkel nicht mehr stimmen, so habe
ich ihn offenbar nicht bloß gedreht, sondern irgendwie
vermurkst !
In Wikipedia findet man z.B. die Definition:
Sei V ein endlich dimensionaler, euklidischer Vektorraum.
Eine Abbildung f [mm] \colon [/mm] V [mm] \to [/mm] V heißt orthogonal, wenn
[mm] \langle [/mm] f(v), f(w) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] für alle v, w [mm] \in [/mm] V gilt.
Von dieser Definition mit dem Skalarprodukt ausgehend
ist der Nachweis ebenfalls sehr leicht.
Vermutlich sollst du aber nur von der Definition der
Orthogonalität einer Matrix ausgehen: $\ [mm] A^T [/mm] = [mm] A^{-1}$ [/mm] .
Dann kannst du davon ausgehend versuchen, zu zeigen,
dass eine solche Abbildung das Skalarprodukt invariant
lässt.
LG Al-Chw.
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Hallo,
<x,y> ist doch das Standardskalarprodukt? Und das hat nochmal was genau mit Winkeln zu tun?
Für die Längentreue musst du halt
det|A|=1 => ||A*x||=||x||
nachrechnen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Fr 20.05.2011 | | Autor: | reyjunior |
@ Diophant:
"<x,y> ist doch das Standardskalarprodukt? Und das hat nochmal was genau mit Winkeln zu tun? "
Ist das nun eine Test-Frage oder willst du damit sagen, dass ich hier falsch liege?
Laut Definition in meinem Skript ist das SkalarProdukt <x,y> = ||x|| * ||y|| * cos P...
Der Beweis - wenn einer ist - den ich im ersten Post habe... Was habe ich denn damit gezeigt? Längen- oder Winkeltreue? Beides Keines?
Es tut mir Leid wenn ich etwas ahnungslos erscheine, ich bemühe mich ja, aber das "Durchblicken" fällt auf Anhieb schwer.
Ich danke für eure Antworten
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Fr 20.05.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
damit ist dann ja schon die Winkeltreue gezeigt. Und ja: das war natürlich eine Testfrage. 
Gruß, Diophant
PS: Ich glaube, wenn du mathematische Fragen stellst, solltest du sie nicht als Mitteilung kennzeichnen. Ich mache hier auch noch nicht so lang mit, aber ich glaube, Mitteilungen sind für Randnotizen gedacht, die im Priinzip keiner Antwort bedürfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Fr 20.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Zur Längentreue:
[mm] $||x||^2= [/mm] <x,x>= <A^TAx,x>= [mm] =||Ax||^2$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Fr 20.05.2011 | | Autor: | reyjunior |
@Diophant: Danke, aber außer der Privaten Message und der Möglichkeit eine Mitteilung zu schreiben, habe ich keine Antwortmöglichkeit gefunden.
@FRED: Vielen Dank, Jetzt hätte ich endlich diese zwei Eigenschaften bewiesen, und wenn man die Beweise nun nach der Diskussion mit euch sich ansieht, ist es doch relativ einfach und fast schon peinlich gefragt zu haben :( ...
Vielen Dank, ich werde die Beweise nun nochmal niederschreiben und gedanklich noch einmal durchgehen.
Freundlicher Gruß
reyjunior
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Fr 20.05.2011 | | Autor: | reyjunior |
Meine letzte Frage, vielen Dank im Voraus:
Beim Beweis der Längentreue:
Wie komme ich von [mm]
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