Längen bzgl Metrik < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mi 15.02.2017 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] l_{eukl} [/mm] und [mm] l_{hyp}, [/mm] d.h. die Länge bzgl. der flachen euklidischen Metrik und bzgl der hyperpolischen Metrik
1. [mm] \gamma:[\alpha,\beta]\rightarrow IH(\IR), t\mapsto re^{it}, 0<\alpha<\beta<\pi.
[/mm]
2. [mm] \gamma:[0,1]\rightarrow IH(\IR), t\mapsto z_0+t(z_1-z_0), [/mm] wobei [mm] z_0,z_1\in IH(\IR) [/mm] |
Hallo,
könnte mir jemand da weiterhelfen? Evtl. einen Tipp geben wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
Dankeschön im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Mi 15.02.2017 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
> Berechnen Sie [mm]l_{eukl}[/mm] und [mm]l_{hyp},[/mm] d.h. die Länge bzgl.
> der flachen euklidischen Metrik und bzgl der
> hyperpolischen Metrik
Hier waere es schon mal interessant, wie ihr die euklidische und die hyperbolische Metrik definiert habt.
>
> 1. [mm]\gamma:[\alpha,\beta]\rightarrow IH(\IR), t\mapsto re^{it}, 0<\alpha<\beta<\pi.[/mm]
Ich nehmen an, IH ist die obere komplexe Halbebene? Auch das waere gut zu wissen :)
>
> 2. [mm]\gamma:[0,1]\rightarrow IH(\IR), t\mapsto z_0+t(z_1-z_0),[/mm]
> wobei [mm]z_0,z_1\in IH(\IR)[/mm]
> Hallo,
>
> könnte mir jemand da weiterhelfen? Evtl. einen Tipp geben
> wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
>
> Dankeschön im voraus.
Wenn wir mehr Input von dir bekommen, kann man dir bestimmt auch besser helfen.
Typischerweise wuerde man die gewoehnliche Laenge einer komplexwertigen Kurve mit
[mm] $\int\limits_a^b |\frac{d\gamma}{dt}| [/mm] dt$
berechnen (also eigentlich nur einsetzen).
Man muesste aber halt ganz genau wissen, wie ihr die Laengen definiert habt.
Gruss,
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mi 15.02.2017 | | Autor: | mimo1 |
Wir haben es in der VL folgend definiert:
[mm] l_{eukl}(\gamma_0)=\integral_{t_1}^{t_2}{\wurzel{Re(\gamma'(t)\overline{\gamma'(t)})}dt}
[/mm]
bzw. [mm] l_{eukl}(\gamma)=\integral_{a}^{b}{\wurzel{\summe{\gamma'_i(t)}} dt}
[/mm]
und
[mm] l_{hyp}(\gamma)=\integral_{t_1}^{t_2}{\wurzel{\bruch{1}{(Im\gamma'(t))^2}Re(\gamma'(t)\overline{\gamma'(t)})}dt}
[/mm]
ich habe dann für 1) folgendes gemacht:
[mm] \gamma_1'(t)=ire^{it}=ir(cos(t)+isin(t))=ircos(t)-rsin(t)
[/mm]
dann ist [mm] l_{eukl}=\integral_{\alpha}^{\beta}{\wurzel{r^2sin^2(t)} dt}=\integral_{\alpha}^{\beta}{rsin(t)dt}=[-rcos(t)]^{\beta}_{\alpha}=-rcos(\alpha)+rcos(\beta)
[/mm]
[mm] l_{hyp}=\integral_{\alpha}^{\beta}{\wurzel{\bruch{1}{r^2cos(t)^2}r^2sin^2(t)} dt}=\integral_{\alpha}^{\beta}{\bruch{sin(t)}{cos(t)} dt}=[ln(|cos(t)|)]^{\beta}_{\alpha}=ln(|cos(\beta)|)-ln(|cos(\alpha)|)=ln(bruch{cos(\beta)}{cos(\alpha)}) [/mm] hyperbolischer Abstand
zu 2) [mm] \gamma_2'(t)=z_1-z_0
[/mm]
dann ist [mm] l_{eukl}=\integral_{1}^{0}{\wurzel{(z_1-z_0)^2} dt}=\integral_{0}^{1}{(z_1-z_0)dt}=[t(z_1-z_0)]^1_0=z_1-z_0 [/mm] euklidischer Abstand
ist es bis hierhin soweit richtig?
für [mm] l_{hyp} [/mm] habe ich leider keine Idee. Könnte mir da jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Do 16.02.2017 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
> Wir haben es in der VL folgend definiert:
>
> [mm]l_{eukl}(\gamma_0)=\integral_{t_1}^{t_2}{\wurzel{Re(\gamma'(t)\overline{\gamma'(t)})}dt}[/mm]
>
> bzw.
> [mm]l_{eukl}(\gamma)=\integral_{a}^{b}{\wurzel{\summe{\gamma'_i(t)}} dt}[/mm]
>
> und
>
> [mm]l_{hyp}(\gamma)=\integral_{t_1}^{t_2}{\wurzel{\bruch{1}{(Im\gamma'(t))^2}Re(\gamma'(t)\overline{\gamma'(t)})}dt}[/mm]
>
Ok. Dann ist das ja nur noch einsetzen!
> ich habe dann für 1) folgendes gemacht:
>
> [mm]\gamma_1'(t)=ire^{it}=ir(cos(t)+isin(t))=ircos(t)-rsin(t)[/mm]
>
> dann ist
> [mm]l_{eukl}=\integral_{\alpha}^{\beta}{\wurzel{r^2sin^2(t)} dt}=\integral_{\alpha}^{\beta}{rsin(t)dt}=[-rcos(t)]^{\beta}_{\alpha}=-rcos(\alpha)+rcos(\beta)[/mm]
Hmmm, bei [mm] $Re(\gamma'(t)\overline{\gamma'(t)})$ [/mm] habe ich [mm] $r^2$ [/mm] raus. Beachte auch, dass [mm] $\alpha=0$ [/mm] und [mm] $\beta=\pi$ [/mm] ist.
>
> [mm]l_{hyp}=\integral_{\alpha}^{\beta}{\wurzel{\bruch{1}{r^2cos(t)^2}r^2sin^2(t)} dt}=\integral_{\alpha}^{\beta}{\bruch{sin(t)}{cos(t)} dt}=[ln(|cos(t)|)]^{\beta}_{\alpha}=ln(|cos(\beta)|)-ln(|cos(\alpha)|)=ln(bruch{cos(\beta)}{cos(\alpha)})[/mm]
> hyperbolischer Abstand
Der Integrand stimmt nicht (s.o.) und die Grenzen sind gegeben (s.o.).
>
> zu 2) [mm]\gamma_2'(t)=z_1-z_0[/mm]
>
> dann ist [mm]l_{eukl}=\integral_{1}^{0}{\wurzel{(z_1-z_0)^2} dt}=\integral_{0}^{1}{(z_1-z_0)dt}=[t(z_1-z_0)]^1_0=z_1-z_0[/mm]
> euklidischer Abstand
Hier habe ich fuer [mm] $Re(\gamma'(t)\overline{\gamma'(t)})$ $|z_1-z_0|$ [/mm] raus. Der Unterschied zu deinem Ergebnis ist, dass [mm] $|z_1-z_0$ [/mm] wirklich reell (und nichtnegativ) ist wohingegen [mm] $z_1-z_0$ [/mm] komplexwertig ist. Das ist nicht so nett....
>
> ist es bis hierhin soweit richtig?
>
> für [mm]l_{hyp}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
habe ich leider keine Idee. Könnte mir da
> jemand weiterhelfen?
Naja, da kannst du doch einfach $1/Im(...}$ hinschreiben und vors Integral ziehen (da konstant).
Gruss,
Chris
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